Мокров Ю. Метрология, стандартизация, сертификация

ОГЛАВЛЕНИЕ

Глава 5.  Концепция неопределенности измерений

В 1993 г. под эгидой семи международных организаций, в том числе МКМВ, МЭК, ИСО, МОЗМ, было издано «Руководство по выражению  неопределенности измерений» (далее - Руководство). Целями Руководства были:

• обеспечение полной информацию о том, как составлять отчеты о неопределенности измерений;
• представление основы для международного сопоставления результатов измерений;
• предоставление универсального метода для выражения и оценивания неопределенности измерений, применимого ко всем видам измерений и всем типам данных, используемых при измерениях.

В 2003 г. введены в действие Рекомендации по межгосу-дарственной стандартизации РМГ 43-2001 «Применение «Руководства по выражению неопределенности измерений». Они распро-страняются на методы оценивания точности результатов измерений, содержат практические рекомендации по применению Руководства и показывают соответствие между формами представления результатов измерений с использованием погрешности и неопределен-ности измерений. 
Руководство рекомендует выражать характеристики точности измерений в показателях неопределенности измерений, а не в показателях погрешности измерений, принятой в отечественной метрологической практике. Вместо понятия истинное значение измеряемой величины вводится понятие оцененное значение.
Вместо деления погрешностей по природе их появления на систематические и случайные вводится деление по способу оценивания неопределенностей – методами математической статистики или иными методами.
Причин появления концепции неопределенности измерений довольно много, но основные из них следующие.

• Появление новых (нетрадиционных) областей измерения (психология, социология, медицина и др.), где постулаты традиционной метрологии (физическая величина, единица измерений, мера, эталон, погрешность измерения) не работают;
• Влияние новых научных направлений кибернетического толка (кибернетики, теории информации, математической статистики и др.), в которых понятие «неопределенность» играет существен-ную роль. Это, как правило, связано с широким толкованием понятия неопределенности как «сомнения» в том, что, например, результат измерения представляет значение измеряемой величи-ны. Примеры такого толкования термина неопределенности: неопределенность выбора устраняется информацией, степень неопределенности множества зависит от числа элементов в множестве и др.
• Отход от понятия истинного значения измеряемой величины как пепознаваемого, в силу чего понятие погрешности теряет смысл и погрешность невозможно вычислять, т.к. она содержит никогда не известное истинное значение.
• Раздельная оценка систематических и случайных погрешностей и использование для них разных характеристик (доверительных границ и СКО) дает завышенные оценки погрешности. Кроме того, применение двух характеристик погрешности при определении результата неудобно, особенно при его дальнейшем использовании.
• Необходимость простой в применении и общепризнанной универсальной методики для характеристики результата измерения.

 
5.1 Основные положения концепции неопределенности измерений

В Руководстве вместо понятия «погрешность измерения» вводится понятие «неопределенность измерения». При этом неопределенность измерения трактуется в двух смыслах:

• В широком смысле как «сомнение» относительно достоверности результата измерения. Например, сомнение в том, насколько точно после внесения всех поправок результат измерения представляет значение измеряемой величины.
• В узком смысле  неопределенность измерения понимается как параметр, связанный с результатом измерения, который характеризует разброс значений, которые могли бы быть обоснованно приписаны измеряемой величине.

В данной концепции неопределенность измерения понимает-ся именно в узком смысле.       
Неопределенность измерения – параметр, связанный с результатом измерения, который характеризует дисперсию (разброс) значений, которые могли бы быть обоснованно приписаны измеряемой величине. Необходимо ясно представлять, что неопределенность измерения – это не доверительный интервал в традиционном понимании (при заданной доверительной вероятности). Вероятность здесь характеризует меру доверия, а не частоту события.
Неопределенность измерения обычно имеет много составляющих. Некоторые из них могут быть оценены из статистического распределения результатов рядов измерений и могут характеризоваться экспериментальными стандартными отклонениями (аналог СКО). Другие    составляющие оценивают из предполагаемых распределений вероятностей, основанных на опыте или другой информации. Они также могут характеризоваться стандартными отклонениями.
Неопределенность результата измерения отражает отсутствие точного знания значения измеряемой величины. Оно даже после внесения поправки на известные систематические погрешности все еще является только оценкой измеряемой величины вследствие неопределенности, возникающей из-за случайных эффектов и неточной поправки результата на систематические погрешности.
Водятся две оценки неопределенности:
- оценка по типу А – метод оценивания неопределенности путем статистического анализа рядов наблюдений;
- оценка по типу В – метод оценивания иным способом, чем статистический анализ рядов наблюдений.
Целью классификации на тип А и тип В является показ двух различных способов оценки составляющих неопределенности.
Стандартную неопределенность типа А получают из функции плотности вероятности, полученной из наблюдаемого распределения по частости.
Стандартную неопределенность типа В получают из предполагаемой функции плотности вероятностей, основанной на уверенности в том, что событие произойдет. Эта вероятность часто называется субъективной вероятностью.
В большинстве случаев измеряемая величина Y не является прямо измеряемой, а зависит от m других измеряемых величин X1, X2, …, Xm , называемых входными, через функциональную зависимость:
                             
Cами входные величины Х,  от которых зависит выходная величина Y, рассматриваются как измеряемые величины. В свою очередь они могут зависеть от других величин, включая поправки и поправочные коэффициенты на систематические эффекты. Это ведет к сложной функциональной зависимости  f, которая, как правило, не может быть записана точно. Кроме того, f можно определить экспериментально или она может существовать как алгоритм, который должен быть реализован численно.
Оценку входной измеряемой величины Y, обозначенную как y, получают из приведенного выше уравнения, используя входные оценки х1, х2, …, хm для значений величин Х1, Х2, …, Хm. Выходная оценка y, которая является результатом измерения, выражается уравнением:
                             
 Стандартная неопределенность по типу А - uA оцени-вается по результатам многократных измерений, причем, исходными данными для ее вычисления являются их результаты , где i = 1,…, m, ni - число измерений i-ой входной величины.  Стандартную неопределенность единичного измерения i-й входной величины uA,i  вычисляют по формуле:
                                ,
где - среднее арифметическое i-й входной величины.
Стандартную неопределенность uA(xi) измерений i-й входной величины, при которой результат определяют как среднее арифметическое, вычисляют по формуле:
.

Стандартная неопределенность по типу В используется для  оценки величины x, которая не была получена в результате повторных наблюдений. Связанная с ней оцененная  стандартная неопределенность uВ(xi) определяется на базе научного суждения, основанного на всей доступной информации о возможной изменчивости х.   Фонд такой информации может включать:

• данные предварительных измерений;
• данные, полученные в результате опыта, или общие данные о поведении   и свойствах  соответствующих материалов и приборов;
• спецификации изготовителя;
• данные о поверке, калибровке, сведения изготовителя о приборе, сертификаты и т.п.;
• неопределенности, приписываемые справочным данным  из справочников.

Например, если в свидетельстве о калибровке утверждается, что неопределенность массы эталона равняется 240 мкг на уровне трех стандартных отклонений, то стандартная неопределенность эталона массы равна 240 мкг : 3 = 80 мкг.
Для неопределенности типа В применяется аппарат субъективной теории вероятностей: вероятность характеризует меру доверия, а не частоту событий, как это используется в концеп-ции погрешности, основанной на частотной теории вероятностей. Для определения неопределенности по типу В широко используется априорная информация о неточности используемых данных. 
Неопределенность по типу В может быть задана, например, и как некоторое кратное стандартного отклонения, так и как интервал, имеющий 90, 95 или 99 процентный уровень доверия. Если не указано иного, то можно предположить, что использовалось нормальное распределение для вычисления неопределенности. Поэтому стандартную неопределенность можно определить, разделив приведенное значение на соответствующий для нормального распределения коэффициент  (см. ниже).
Часто приходится оценивать стандартную неопределенность и(х), связанную с влияющим фактором Х, значения которого нахо-дятся в заданных пределах от х - D до х + D. По имеющейся информации о величине Х необходимо принять некоторое априор-ное распределение вероятности возможных значений Х внутри заданных пределов. После этого стандартная неопределенность находится делением D на коэффициент k, зависящий от принятой функции распределения: и(х) = D/k. Наиболее типичными случаями при этом являются:

• известны только пределы, в которых, в которых может находиться значение Х, т.е. 2D;
• известно значение хизв и пределы, обычно симметричные, допускаемых значений ±D;
• известен интервал от (хизв - Dр) до (хизв + Dр), охватывающий заданную долю р вероятности.

В первом случае в предположении равномерного распределе-ния значение коэффициента kможет быть принято для симметрич-ных границ равным .
Во втором случае из-за известного значения хизв можно предположить, что вероятность нахождения Х вблизи хизв больше, чем вблизи границ хизв ±D. Т.е. можно принять треугольное распре-деление вероятности в качестве некоторого среднего между равно-мерным (прямоугольным) и нормальным. Значение коэффициента k при этом равно .
В третьем случае распределение вероятности принимается нормальным и значение коэффициента k зависит от заданной вероятности. Например, для р = 0,99 он равен 2,58.
Могут встречаться и другие модификации прямоугольного и нормального распределений, например, в виде равнобедренной трапеции с шириной верхней части, равной 2Db, где b находится в диапазоне от 1 (прямоугольное распределение) до 0 (треугольное распределение). Тогда значение и(х) определяется исходя из формулы и2(х) = D2 (1 + b2)/6.
Правильное использование фонда доступной информации для оценивания стандартной неопределенности по типу В требует интуиции, основанной на опыте и общих знаниях, и является мастерством, которое приходит с практикой.
Оценивание неопределенности по типу В позволяет выйти за рамки традиционного статистического подхода, отнесенного к оцениванию по типу  А, и находить значения составляющих неопределенности, для которых получение необходимой статистической информации затруднено или невозможно. К описанию же неопределенностей применяют статистический подход, независимо от способа их оценивания (имея в виду, что все поправки на систематические погрешности уже введены). Это видно на способе определения суммарной стандартной неопределенности.
Суммарная стандартная неопределенность uc(y) – это стандартная неопределенность результата измерения, когда результат получают из значений ряда других величин.   Оцененное стандартное отклонение, связанное с выходной оценкой или с результатом измерения y, называют суммарной стандартной неопределенностью и обозначают uc(y).
Суммарная стандартная неопределенность для некоррелиро-ванных входных оценок определяется из формулы:

В этой формуле неопределенность u может определяться как по типу А, так и по типу В.    
Суммарная стандартная неопределенность представляет собой оцененное стандартное отклонение и характеризует разброс значений, которые могут быть с достаточным основанием приписаны измеряемой величине Y.
Несмотря на то, что суммарная неопределенность может использоваться для выражения неопределенности результата измерения, в некоторых случаях, например, в торговле или  при измерениях, касающихся здоровья или безопасности, часто необходимо дать меру неопределенности, которая указывает интервал для результата измерения, в пределах которого находится большая часть распределения значений измеряемой величины. Для этого используется понятие расширенной неопределенности.  
Расширенная неопределенность используется для выражения неопределенности результата измерения в торговле, промышленности, регулирующих актах, при охране здоровья и безопасности в качестве дополнительной меры неопределенности. Расширенную неопределенность U получают путем умножения суммарной стандартной неопределенности uc(y)  на коэффициент охвата k:
                                   
Тогда результат измерения выражается как Y = y±U. Это означает, что наилучшей оценкой значения, приписываемого величине Y, является у, и что интервал от у -  U до у + U содержит, как можно ожидать, большую часть распределения значений, которые можно с достаточной уверенностью приписать Y.
Понятия доверительный интервал и доверительный  уровень (вероятность)  применяются в статистике к интервалу при условии, что все составляющие неопределенности были бы получены из оценивания по типу А, т.е. при статистической обработке результатов наблюдений. В настоящей концепции    слово доверие не используется для модификации слова «интервал» при ссылке на интервал, определяемый U. Термин доверительный уровень также не используется в связи с интервалом и более предпочтительным является термин уровень доверия. U рассматривается как задание интервала вокруг результата измерения, который содержит большую часть р распределения вероятностей, характеризуемого результатом и его суммарной стандартной неопределенностью. Таким образом, р является вероятностью охвата или уровнем доверия для этого интервала.
При возможности следует оценивать и указывать уровень доверия р, связанный с интервалом U, хотя умножение uc(y) на постоянную величину  не дает никакой новой информации, а представляет уже имевшуюся информацию в новом виде. Но следует признать, что уровень доверия р будет неопределенным как из-за ограниченного знания распределения вероятностей у и ис(у), так и из-за неопределенности самой ис(у).
Значение коэффициента охвата k выбирается на основе уровня доверия, требуемого интервалом от у – U до у – U, и обычно имеет значение от 2 до 3. Но он может и выходить за пределы этого диапазона. На практике связь  коэффициента k с заданным уровнем доверия нелегко осуществить из-за отсутствия полного знания распределения вероятностей, характеризуемого результатом измере-ний и суммарной стандартной неопределенностью. Однако, если это распределение вероятностей близко к нормальному, то можно предположить, что принятие  k = 2 дает интервал, имеющий уровень доверия около 95 %, а при k = 3 - около 99 %. В предположении равномерного распределения коэффициент охвата имеет, соответственно, значения 1,65 и 1,71.
При представлении результата измерения и его неопределенности следует исходить из принципа, что лучше  дать слишком много информации, чем слишком мало. Например, следует:

• описать методы, используемые для вычисления результата измерения и его неопределенности из экспериментальных наблюдений и входных данных;
• перечислить все составляющие неопределенности и показать, как они оценивались;
• дать анализ данных таким образом,  чтобы можно было легко повторить вычисление представляемого результата;
• дать все поправки и константы, используемые в анализе, и их источники.

Можно рекомендовать следующую процедуру оценивания и выражения неопределенности.

• Выразить математическую зависимость между измеряемой величиной Y и входными величинами Xi, от которых она зависит. Функция fдолжна содержать каждую величину, включая все поправки и поправочные множители, которая может дать значительную составляющую в неопределенность результата измерения.
• Определить хi - оцененное значение входной величины Xi либо на основе статистического анализа рядов наблюдений, либо другими способами.
• Оценить стандартную неопределенность и(хi) каждой входной оценки хiлибо по типу А, либо по типу В.
• Рассчитать результат измерения, т.е. оценку у измеряемой величины Yиз функциональной зависимости f, используя полученные оценки входных величин хi.
• Определить суммарную стандартную неопределенность ис(у) результата измерения у из стандартных неопределенностей, связанных с входными оценками.
• При необходимости дать расширенную неопределенность, следует умножить суммарную стандартную неопределенность ис(у) на коэффициент охвата k, который обычно находится в диапазоне от 2 до 3. Например, значения коэффициента охвата, который создает интервал, имеющий уровень доверия р при допущении нормального распределения, имеют следующие значения:

 уровень доверия р, %                              коэффициент охвата k
68,27                                                             1
90                                                                  1,645
95                                                                  1,960
95,45                                                             2
99                                                                  2,576
99,73                                                             3

5.2 Сопоставление концепций погрешности и неопределенности измерений

Концепции погрешности и неопределенности измерений преследуют единую цель – количественно охарактеризовать резуль-тат измерения с точки зрения его точности. В обеих концепциях прослеживается единая схема оценки характеристик погрешности и неопределенности измерения: начиная с анализа измерительной задачи и уравнения измерения, выявления всех источников погрешности (неопределенности) результата измерения, введения поправок на все известные систематические эффекты (погрешности) и, наконец, оценивания характеристик составляющих погрешности (стандартных неопределенностей) и вычисление характеристики погрешности (неопределенности) результата измерения.
Ниже приводятся используемые в этих концепциях оценки  характеристик погрешности (неопределенности) измерения.
1. Для характеристики случайной погрешности используется среднее квадратическое отклонение (СКО): sи его оценка s для единичного измерения и для среднего арифметического  в серии измерений.
Если необходимо указание случайной погрешности с доверительной вероятностью, большей, чем  68 %, то вычисляются доверительные границы случайной погрешности e по формуле:

где tq - коэффициент Стьюдента, который зависит от доверительной вероятности и числа наблюдений. неопределенность по типу А)
В концепции неопределенности используется неопределенность по типу А, определяемая как экспериментальное стандартное отклонение единичного измерения и экспериментальное стандартное отклонение среднего значения, определяемые, соответственно, поформулам, аналогичным для определения  для и .
2. Границы неисключенной систематической погрешности  (НСП) Qрезультата измерения вычисляют путем построения композиции границ неисключенных систематических погрешностей qi, обусловленных различными источниками (они трактуются как квазислучайные величины).  В предположении их равномерного распределения Qвычисляется по формуле:

где k–  коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью. При доверительной вероятности 0,95 он равен 1,1, при доверительной вероятности 0,99 он равен 1,4.  Доверительная вероятность принимается той же, что и при вычислении доверительных границ случайной погрешности результата измерения.
В концепции неопределенности измерений вычисляется стандартная неопределенность по типу В,   примеры вычисления которой были рассмотрены выше.
3. Для выражения суммарной погрешности, учитывающим случайные погрешности и НСП, находится  суммарная средняя квадратическая погрешность результата измерения Så по формуле раздела 4.6.7.
В концепции неопределенности для этой цели используется суммарная стандартная неопределенность  ис(у) определяется по приведенным выше формулам.
4.  Доверительные границы погрешности результата измерения Då (граница доверительного интервала) находится путем построения композиции распределений случайных погрешностей и НСП по формулам раздела 4.6.7.
В концепции неопределенности измерений используется расширенная неопределенность, которая вычисляется путем умножения суммарной неопределенности на коэффициент охвата, находящийся в диапазоне от 2 до 3.
Таким образом, можно констатировать соответствие между неопределенностями и погрешностями на уровне количественных оценок. Так, для расширенной неопределенности и границы погрешности результата измерения их количественные оценки различаются лишь на погрешность оценивания погрешности. Следует при этом отметить, что процедура определения коэффициента охвата, соответствующего коэффициенту  tå в концепции погрешности формализована строже и более удобна для практике.
Однако, интерпретация отмеченных количественных  оценок различна в этих двух концепциях. Так, доверительные границы погрешности, отложенные от результата измерения, накрывают истинное значение измеряемой величины с заданной доверительной вероятностью. В то время как аналогичный интервал - расширенная неопределенность трактуется как интервал, содержащий заданную долю распределения значений, которые могли бы быть обоснованно приписаны измеряемой величине. В общем случае нет однозначного соответствия между случайными погрешностями и неопределенностями, вычисленными по типу А, а также между НСП и неопределенностями, вычисленными по тип В. Деление на случайные и систематические погрешности обусловлено природой их появления и свойствами, которые проявляются в процессе измерений. Деление же неопределенностей на тип А и В обусловлено методами их расчета.
Следует отметить, что несомненным достоинством концепции неопределенности измерений является единый принцип использования стандартной неопределенности для всех составляющих погрешности, что привлекательно для практического использования.
И, наконец, в «Руководстве по выражению неопределенности измерений» оговаривается тот случай, когда все источники неопределенности учтены и количественно оценены, а измерительная задача корректно поставлена. В таком случае неопределенность является мерой возможной погрешности. Такая ситуация как раз и является наиболее распространенной в метрологической практике. Например, при передаче размеров единиц физических величин.  

5.3 Использование концепции неопределенности

В связи с появлением Руководства и ряда отечественных документов по использованию неопределенности измерений, возникает вопрос, следует ли полностью отказаться от концепции погрешности измерений и перейти на принципы, изложенные в Руководстве. Среди метрологов нет единого мнения в этом вопросе. Так, в упомянутом выше РМГ 43-2001 говориться, что концепцией неопределенности целесообразно пользоваться при проведении совместных работ с зарубежными странами, при подготовке публикаций в зарубежной печати в при выполнения международных метрологических работ.
Кроме того, ряд авторов предлагает для тех видов и групп средств измерений, которые обеспечены поверочными схемами, восходящими к государственным эталонам, сохранить концепцию погрешности измерений. Это объясняется тем, что величины, воспроизводимые эталонами, имеют наивысшую на данный момент времени точность и воспринимаются как истинные значения величин.
Для тех же видов и средств измерений, которые  не обеспечены государственными эталонами и поверочными схемами, можно использовать концепцию неопределенности измерений и разрабатывать документацию в соответствии с Руководством.

Комментарии (1)
Обратно в раздел Наука