Кантор Г. Труды по теории множеств

ОГЛАВЛЕНИЕ

От редакции (7).
I. РАБОТЫ ПО ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
1. Обобщение одной теоремы из теории тригонометрических рядов (9).
2. Об одном свойстве совокупности всех действительных алгебраических чисел (18).
3. К изучению о многообразиях (22).
4. Об одной теореме из теории непрерывных многообразий (36).
5. О бесконечных линейных точечных многообразиях (5.1-5.6) (40).
6. О различных теоремах теории точечных множеств, расположенных в непрерывном пространстве n измерений. Сообщение первое (141).
7. О мощности совершенных точечных множеств (146).
8. О различных теоремах из теории точечных множеств в n-кратно протяженном непрерывном пространстве Gn. Сообщение второе (154).
9. Об одном элементарном вопросе учения о многообразиях (170).
10. К обоснованию учения о трансфинитных множествах (173).
II. РАБОТЫ ПО ФИЛОСОФСКИМ ВОПРОСАМ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
1. Принципы теории порядковых типов. Первое сообщение (246).
2. О различных точках зрения на актуально бесконечное (262).
3. К учению о трансфинитном (268).
4. Основания арифметики (325).
ДОПОЛНЕНИЯ
Переписка Кантора с Дедекиндом (327).
ПРИЛОЖЕНИЯ
Послесловие. Колмогоров Л.Н., Юшкевич Л.П. (373).
Георг Кантор (Биографическая справка). Медведев Ф.А. (382).
Библиография (389).
Примечания (400).
Указатель основных понятий теории множеств (421).
Указатель имен (423).

Кантор (Cantor) Георг (3.3.1845, Петербург, - 6.1.1918, Галле), немецкий математик. В 1867 окончил Берлинский университет. Кантор разработал теорию бесконечных множеств (см. Множеств теория) и теорию трансфинитных чисел. В 1874 он доказал несчётность множества всех действительных чисел, установив т.о. существование неэквивалентных (т.е. имеющих разные мощности) бесконечных множеств, сформулировал (1878) общее понятие мощности множества. В 1879-84 Кантор систематически изложил принципы своего учения о бесконечности. Кантор ввёл понятия предельной точки, производного множества, построил пример совершенного множества (см. Кантора множество), развил одну из теорий иррациональных чисел, сформулировал одну из аксиом непрерывности (см. Кантора аксиома). В 1897 отошёл от научного творчества. Идеи Кантор встретили со стороны современников резкое сопротивление, в частности со стороны Л. Кронекера, но впоследствии оказали большое влияние на развитие математики.

Предисловие

Вряд ли можно назвать какую-либо возникшую в последней трети прошлого столетия математическую дисциплину, которая оказала бы большее влияние на последующий прогресс всей математики и, шире, на математическое мышление в целом, чем теория множеств. К идеям теории множеств в разное время подходили с разных сторон многие ученые, но оформление ее в самостоятельную науку, со своими особыми предметом и методами исследования, осуществил на протяжении четверти века в работах 1872 — 1897 гг. Георг Кантор. Среди современников Кантора правильно оценили значение этих работ только немногие, прежде всего Рихард Дедекинд, который внес собственный значительный вклад в новую теорию. Обнаруженные в конце Х1Х — начале ХХ вв. логические и методологические парадоксы теории множеств отпугнули некоторых выдающихся математиков, первоначально приветствовавших ее появление, как Анри Пуанкаре. Однако плодотворные приложения теории множеств в различных областях анализа стимулировали ее дальнечшую разработку во многих направлениях, в том числе глубокое исследование самых ее основ средствами бурно расцветавшей математической логики. Какие-либо окончательные и обпгепризнанные решения всех трудностей не достигнуты и все более и более тонкие изыскания здесь продолжаются; вместе с тем современная математика не может обойтись без основного аппарата понятий и приемов теории множеств.

Издание на русском языке полного собрания ставших классическими теоретико-множественных работ Г. Кантора существенно обогатит нашу переводную математическую литературу. До сих пор на русский язык были переведены только три работы Кантора: «Основы общего учения о многообразиях», «О различных точках зрения на актуально бесконечное» и «К учению о многообразиях». Этот перевод, сделанный П. С. Юшкевичем, составил шестой выпуск «Новых идей в математике» (СПб., 1914), издававшихся под редакцией А. В. Васильева. Перевод П. С. Юшкевича, давно ставший библиографической редкостью, использован с небольшими редакционными изменениями Ф. А. Медведевым и в настоящем однотомнике. Остальные десять работ переведены Ф. А. Медведевым впервые, так же как и богатая содержапием переписка Кантора с Дедекиндом, весьма важная для уточнения роли последнего в развитии теории множеств.

Перевод статей Кантора сделан с однотомника его сочинений, вышедшего в 1932 г. под редакцией Э. Цермело. Из названного однотомника отобраны только работы по теории множеств и ее философским вопр сам, к которым добавлена статья «Принципы теории порядковых типов. Первое сообщение», недавно опубликованная А. Граттан-Гиннесом,— при жизни Кантора она не увидела света и ее рукопись хранится в Шведском институте Г. Миттаг-Леффлера. Переписка Кантора с Дедекиндом, из которой в сборник сочинений под редакцией Цермело вошло всего пять писем 1899 г., дана в русском переводе по изданию Э. Нётер и Ж. Кавайеса, включающему 49 писем 1872 — 1899 гг.

Вслед за переводами отдельных работ помещены примечания Э. Цермело, написанные им при издании упомянутого однотомника сочинений Г. Кантора (они заключены в квадратные скобки), а в конце книги — статья-послесловие редакторов, биографический очерк и примечания, принадлежащие Ф. А. Медведеву, список литературы, предметный и именной указатели.

Теория множеств оказала огромное влияние на прогресс всей математики и на математическое мышление в целом. В предлагаемой книге содержатся переводы теоретико-множественных работ ее основного создателя Георга Кантора, включая недавно обнаруженную его большую статью и переписку с Р.Дедекиндом, а также примечания Э.Цермело к немецкому изданию его трудов и другие справочные материалы (краткую биографию Г.Кантора, примечания переводчика, список литературы, предметный и именной указатели). Настоящее издание - наиболее полное собрание работ Г.Кантора по теории множеств.
Книга представляет интерес для научных работников, аспирантов, студентов и всех, интересующихся историей математики и ее философскими аспектами..

Ваш комментарий о книге
Обратно в раздел Наука