Галилей в опытах с использованием наклонной плоскости открыл явление падения всех тел на Земле с одинаковым ускорением. Масса т связана с весом тела, но вес зависит от массы того тела, к которому притягивается масса т. Вес не может служить коэффициентом пропорциональности между силой и ускорением, поэтому ввели понятие инертной массы М, характеризующей «нежелание» тела сдвинуться с места. Масса не зависит от направления движения (это многократно проверялось экспериментально) и с погрешностью до 10-9 является скалярной величиной. (В отличие от векторной, каждое значение скалярной величины можно выразить одним, действительным, числом, а совокупность значений изобразить на линейной шкале — таковы длина, площадь, время и т.д.)
Ньютон связал понятия массы и веса тела. Он предположил, что Луна падает на Землю так же, как камень или яблоко, но с ускорением во столько раз меньшим, во сколько квадрат земного радиуса меньше квадрата расстояния между центрами Земли и Луны. Гипотеза зависимости притяжения между точечными массами от квадрата расстояний возникла из геометрической аналогии. Поскольку Луна находится на расстоянии r от Земли в 60 земных радиусов R, а период ее обращения Т = 27,3 сут = 2,36 • 106 с, Ньютон оценил отношение ускорений Луны Wcи камня gкак 1/3600. Так как g = 9,8 м/с2, центростремительное ускорение Луны

т.е. gпримерно в 602раз больше ускорения Луны. Итак, сила тяготения, действующая со стороны Земли на яблоко или камень, находящийся на орбите Луны, уменьшится в 3600 раз, что и соответствует отношению квадратов расстояний. Значит, сила тяготения между двумя телами должна убывать обратно пропорционально квадрату расстояния между ними. В расчетах принято, что небесные тела взаимодействуют так, как будто вся их масса сосредоточена в центре масс. Доказать это строго Ньютон сумел лишь через 20 лет с помощью созданного им интегрального исчисления.
Ньютон записал уравнение движения под действием силы тяжести и проверил решение в виде эллиптичных траекторий для большого класса начальных условий и не очень больших скоростей. Так он подтвердил предложенную Р. Гуком гипотезу обратно пропорциональной зависимости силы тяготения от квадрата расстояний. На камень внутри Земли внешние слои не действуют или поле внутри однородной сферы равно нулю, поэтому однородный шар (или шаровой слой) притягивает точки внешней области так же, как если бы вся его масса была сосредоточена
94

в центре шара. Если же интересоваться силой, которая действует внутри Земли или другого тела с распределенной массой, то зависимость от расстояния будет иной.
Ньютон провел серию опытов с маятниками разной массы для повторения опытов X. Рена и Э. Мариотта по удару и убедился, что свинцовый и деревянный шары падают с одинаковыми ускорениями. Земля одинаково действует на оба шара. Но если действие измерять не ускорением, а силой, удерживающей шары в равновесии на весах, то ее влияние на свинцовый шар будет больше, чем на деревянный. Такое влияние Земли на каждое тело можно выражать тяжестью, измеренной на весах, путем сравнения с тяжестью тела, принятой за единицу. И он ввел понятие силы F = MWкак меры действия одного тела на другое, отождествляя вес с силой действия, оказываемого на него Землей. Далее Ньютон указал, что, если бы вокруг Земли вращалось несколько лун, то все они двигались бы под действием аналогичной силы и их движение определялось бы законами Кеплера. Затем Ньютон перешел к изучению других планет и планетных систем (это определение он ввел после открытия спутников у Юпитера и Сатурна), считая, что силы тяготения должны иметь одну природу и у поверхности Земли, и в космосе. Признание материального единства мира — результат коперниканской революции. Если нет различия между земным и небесным и законы едины для всей Вселенной, то их можно изучать и на Земле. Квадрат расстояния в знаменателе отражает евклидову метрику пространства. То есть в трехмерном пространстве поверхность сферы пропорциональна квадрату радиуса.
По Копернику, пространство однородно и изотропно, в нем нет выделенных направлений и точек. В пространстве — евклидова геометрия, и физическим действием обладают только те точки, в которых сосредоточена материя. Поэтому на Земле тела падают в направлении не геометрического центра мира (у него — это центр Солнца), а материального центра Земли. Это утверждение справедливо и для других небесных тел — в этом коперниканский принцип универсальной гравитации как функции массы тел.
Инертная масса определена динамически: прикладывается известная сила, измеряется ускорение и из формулы F = MWвыводится масса М. В законе тяготения гравитационную массу определяют статически: измеряют силу взаимодействия между двумя телами, расположенными на определенном расстоянии. У Ньютона масса — единственная причина гравитационного взаимодействия. Галилей пришел к выводу о пропорциональности гравитационной т и инертной М масс, будто бы сбрасывая тела с высоты.
Ньютон не объяснил причину этой пропорциональности; она следует из опытов Галилея: все тела на Земле падают с одинаковым ускорением. Тот факт, что никогда не было обнаружено раз-
95

личия инертной и гравитационной масс, наводит на мысль, что тяготение может быть эквивалентно ускорению. Эйнштейн истолковал этот эффект как истинную природу тяготения и положил его в основу ОТО, возведя равенство масс в принцип эквивалентности. В соответствии с ним, для наблюдателя в свободно падающем лифте законы физики такие же, как и в инерциальных системах отсчета СТО — действия ускоренного движения и силы тяжести полностью взаимно уничтожаются. «Невесомость» человека в спутнике — проявление принципа эквивалентности. А поиски следствий из этого принципа приводят к ОТО. Если тело выделяет энергию Е в форме излучения, то его масса уменьшается на Е/с2. Масса отражает то, что сохраняется при превращении тел из одного агрегатного состояния в другое.

3.3. Движения планет и законы Кеплера

Вокруг Солнца вращаются девять крупных планет: Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун, Плутон. Последние три планеты не видны невооруженным глазом, и они были открыты недавно — в 1783, 1846 и 1930 гг. соответственно. Недавно была открыта десятая планета Седна, которую причислили к большим планетам, хотя по своим характеристикам она больше подходит к астероидам полосы Эдгеворта—Купера (от 30 до 100 а. е. от Солнца). И. Кеплер, великий немецкий астроном и математик, открыл три закона движения планет. Первые два были получены на основе исследования движения Марса по наблюдениям Тихо Браге и опубликованы в 1609 г.
Кеплер установил, что орбита Марса не окружность, а эллипс, в одном из фокусов которого находится Солнце. Такая же закономерность оказалась и для движения других планет. Это и есть первый закон Кеплера (рис. 3.1, а). Большая полуось АВ эллипса равна полусумме (PF+ PS) расстояний от любой точки эллипса до его фокусов Fи S. Эксцентриситет эллипса равен отношению OS/OB. Наиболее вытянутые орбиты у комет. Эллиптичность наиболее заметна у Меркурия (его эксцентриситет е = 0,21) и Плутона (е = 0,25). Для Земли е = 0,017, т.е. орбита Земли почти окружность (149,6 млн км): в январе она на 2,5 млн км ближе к Солнцу, а в июле на то же расстояние дальше.
Второй закон Кеплера: каждая планета движется по своей орбите так, что ее радиус-вектор SPописывает за равные промежутки времени равные площади (рис. 3.1, б). Пары точек Р1 Р2и Р3, Р4выбраны так, что отрезки дуг планета прохо-
дит за одинаковое время.
Это значит, что чем ближе планета к Солнцу, тем больше скорость движения по орбите. Так, Марс вблизи перигелия движется
96

со скоростью 26,5 км/с, а вблизи афелия — 22 км/с. Скорости комет меняются от 500 до 1 км/с. Земля движется со скоростью 29 км/с, причем в январе несколько быстрее.
Третий закон движения планет Кеплера (1618) гласит: отношение кубов больших полуосей орбит двух планет Солнечной системы равно отношению квадратов периодов их обращения вокруг Солнца. Этот закон позволил оценить размеры Солнечной системы. Для круговых орбит это означало, что

Ньютон при формулировке закона всемирного тяготения использовал эти законы. Он сумел показать, что они выполняются только в случае, если силы, действующие между тяготеющими телами, пропорциональны закону обратных квадратов, а массы сосредоточены в центре масс. Ньютон математически доказал, что тело массы т будет двигаться относительно тела М по одной из кривых — эллипсу, параболе или гиперболе. Эти кривые можно получить, пересекая конус плоскостями под разными углами. Поэтому их называют коническими сечениями. Так что Ньютон обобщил I закон Кеплера.
Третий закон Кеплера соответствовал его представлениям о гармонии и физической причинности, выражая связь между мгновенными значениями меняющихся величин. Так в XVII в. фактически был сделан первый шаг к математическому анализу. Кеплер понимал, что открытые им численные закономерности могут стать основой новой небесной механики, но не знал причины именно такого движения планет. Он считал очевидным, что сила, действующая на планеты, должна меняться с расстоянием по закону обратных квадратов, и исходил из внешней аналогии со светом, интенсивность которого меняется как 1/r2. Законы Кеплера подходят и для окружностей, поскольку орбиты планет вытянуты очень мало.
97

Вращение — одно из основных видов движения в поле тяготения, и ему также соответствует определенная энергия. При равномерном движении по окружности скорость v равна длине окружности деленной на период Т, т.е. на время одного оборота. Отсюда для кинетической энергии получим

Гравитация — источник центростремительной силы для небесных тел. Приравнивая эти две силы, можно получить важные соотношения между периодом Т и радиусом вращения rпланеты или спутника: Разделив обе части на -m,
получим: Перенесем зависимость от г в левую
часть: и избавимся от дробей: Отсю-
да: Так мы пришли к третьему закону Кеплера
для движения планет: — кубы радиусов (или больших по-
луосей) орбит относятся как квадраты периодов.
Итак, закон тяготения Ньютона связан с законами Кеплера, полученными из наблюдений за движением планет Солнечной системы. Закон тяготения Ньютона и законы Кеплера пригодны для движений под действием тяготения в задаче двух тел, где одно является центральным, а второе вращается вокруг него по эллипсу или окружности.
Условием движения спутника по круговой орбите (1-я космическая скорость) является равенство силы тяготения и центростремительной силы. Это правило входит в законы планетных движений: квадраты периодов относятся как кубы больших полуосей (радиусов). Условием для отрыва ракеты от Земли и выхода на параболическую (незамкнутую) траекторию (2-я космическая скорость) может служить равенство кинетической и потенциальной энергий гравитации.
При притяжении тела Землей В 1798 г.
английский физик и химик Генри Кавендиш измерил Gс помощью точных крутильных весов (притяжение двух тел измерялось по углу закручивания нити, который регистрировался отраженным световым лучом) и получил значение 6,67-10-11 Н м2/кг2.

3.4. Закон всемирного тяготения

Закон всемирного тяготения Ньютона многие не принимали как не соответствующий здравому смыслу, как теорию действия на расстоянии. X. Гюйгенс развивал теорию близкодействия, гидродинамическую модель вращающейся жидкости, подобную вихрям Декарта. Этой модели придерживался и Г.Лейбниц как более наглядной в объяснении воздействия тел. Страстным пропаганди-
98

стом теории тяготения Ньютона стал Вольтер. Его популярная книга «Элементы учения Ньютона» (1738) сыграла большую роль в изменении общественного и научного мировоззрения во Франции. Критерием проверки закона тяготения на Земле, и стала форма Земли. По вихревой модели наша планета должна была быть вытянута у полюсов, а по теории Ньютона — сплюснута.
Для уточнения формы Земли были организованы экспедиции в Перу и Лапландию (1735, 1736—1737). П. Мопертюи, руководивший экспедицией на север, показал сплюснутость Земли у полюсов. В этой экспедиции принимал участие А. Клеро. После обработки полученных результатов он опубликовал книгу «Теория фигуры Земли», построенную на основе гидростатической модели эллипсоида вращения. Клеро предположил, что Земля ранее была жидкой, ее частицы взаимодействовали друг с другом по закону всемирного тяготения, и вся масса медленно вращалась вокруг оси. Эта работа имела огромное значение для геодезии и теории Земли.
Тем самым теория тяготения Ньютона получила подтверждение на Земле. Это нанесло удар по взглядам ученых, которые считали, что все процессы физического мира должны представляться наглядно. Солнечная система у Ньютона — гигантский механизм, в котором гравитация управляет движением всех его элементов. Но, изучая движение конкретной планеты, нельзя не учитывать воздействие других планет и их спутников, хотя оно и мало по сравнению с притяжением Солнца. Его называют возмущением, или пертурбацией (от лат. perturbatio— расстройство, смятение). Английский астроном и геофизик Э. Галлей, изучая материалы наблюдений, обратил внимание на сходство орбит комет в 1456, 1531, 1607, 1682 гг. и периодичность их появления (около 76 лет). Он заключил, что это была одна и та же комета, и предсказал ее возвращение в 1758 г. (рис. 3.2). Но из-за возмущающего действия Юпитера и Сатурна комета Галлея появилась только в следующем году почти в точном соответствии с расчетами Клеро (он ошибся только на 19 дней!). Предсказание возвращения кометы стало первой убедительной победой теории Ньютона. Клеро проверил теорию Ньютона и по движениям Луны. Он составил точные лунные таблицы и по своим разработкам написал книгу «Теория движения Луны» (1751).
Близость Луны к Земле (около 400 тыс. км) позволяла провести измерения достаточно точно. Еще в 1693 г. Галлей заметил, что современные ему данные по орбите Луны расходятся с древними наблюдениями так, будто радиус орбиты уменьшается за столетие на 10". Эйлер связал ускорение с торможением в окружающей среде, а не с тяготением, Лаплас — с малыми изменениями вытянутости земной орбиты из-за планетных возмущений. Их объяснения (1787) верны только отчасти: такие колебания существуют, вызывая наступления ледников, так как за десятки тысяч лет
99

широта местности может измениться. Но, кроме этого, есть еще ускорение Луны, вызванное приливами. Этот эффект кажущийся, а причина — замедление вращения Земли из-за приливного трения. Оценка эффекта дает за 1 млрд лет удвоение суток и удаление Луны от Земли на расстояние до 600 тыс. км.
Другое явление, позволявшее усомниться в пригодности закона Ньютона, было ранее замеченное некоторое ускорение движения Юпитера и замедление движения Сатурна (Кеплер, 1625; Гал-лей, 1695). Оно должно бы за долгие миллионы лет разрушить Солнечную систему, но этого не произошло. Анализ планетных возмущений привел Лагранжа (1776) и Лапласа (1784) к теореме устойчивости Солнечной системы: взаимные возмущения планет, движущихся по почти круговым орбитам примерно в одной плоскости и в одну сторону, приводят лишь к почти периодическим колебаниям эксцентриситетов и наклонений вблизи нуля, тогда как расстояния до Солнца колеблются вблизи своих начальных значений. Или — большие оси кеплеровских эллипсов не испытывают вековых возмущений. Эта теорема доказана Лапласом для первых членов ряда возмущений. Взаимные возмущения Юпитера и Сатурна существуют, и их значения колеблются с периодом в 900 лет. За 450 лет накопления возмущений эта величина составляет меньше одного градуса.
Самым убедительным подтверждением ньютонова закона тяготения в Солнечной системе явилось открытие «на кончике пера» еще одной планеты, названной Нептуном. Открытие этой плане-
100

ты — триумф науки и, конечно, закона всемирного тяготения. Границы Солнечной системы расширились почти вдвое.
В 1781 г. У. Гершель открыл новую планету Уран. Для нее были вычислены элементы орбиты и составлены таблицы движения. Но заметили, что Уран в своем движении отклоняется от рассчитанного по закону Ньютона: за три года — на 2' при погрешности измерений в доли секунд. Французский астроном У. Леверье предположил, что это отклонение вызвано влиянием неизвестной планеты, находящейся дальше Урана, и сделал расчет ее орбиты. Леверье сообщил результаты в письме от 18 сентября 1846 г. берлинскому астроному Галле, который имел звездные карты, содержавшие слабые звезды. Галле обнаружил в указанном месте слабую звездочку 8-й величины, которой на картах не было. Через день она переместилась относительно ближайших звезд, а в более сильный телескоп удалось разглядеть маленький диск. Это была предвычисленная по закону всемирного тяготения новая планета Солнечной системы. Ее положение на небе отличалось от предсказанного расчетом Леверье всего на 52". В это же время английский студент Дж.Адамс, впоследствии известный астроном, независимо от Леверье проделал нужные расчеты, поэтому у этого предсказания два автора, хотя официально признан первый. Позже было обнаружено, что в зарисовках Галилеем видимого в его телескоп участка неба есть слабенькая звездочка, которую он не догадался принять за новую неизвестную планету.
Планета Плутон была открыта 21 января 1930 г. Ее орбита вытянута столь сильно, что заходит даже внутрь орбиты Нептуна, как было в течение 20 лет (1979 — 1999).
Смещение перигелия Меркурия, обнаруженное около века назад, не удавалось объяснить по закону Ньютона. Ведь эллиптические орбиты планет не должны меняться со временем, и ближайшая к Солнцу точка орбиты — перигелий — не должна смещаться по отношению к неподвижным звездам. Но перигелий пре-цессировал с малой скоростью, и орбита напоминала поворачивающийся эллипс — не учитываемый эффект — 43" в 100 лет. Само измерение столь малой величины с такой погрешностью — тоже большое достижение (погрешность менее 1 %).
Подозревали, что есть еще одна планета, возмущающая орбиту Меркурия, ее даже условно назвали Вулканом, но не нашли. Появилось мнение, что закон тяготения Ньютона неточен. «Подправил» его в 1915 г. А. Эйнштейн: смещение перигелия планеты Меркурий удалось объяснить только в рамках ОТО (общей теории относительности). Эти поправки играют роль только вблизи больших тяготеющих масс.
По ОТО, перигелии орбит при каждом обороте планеты вокруг Солнца должны перемещаться на долю оборота, равную 3 (v/c)2. Для перигелия Меркурия получается 43", угол поворота перигелия за сто лет составляет 42,91". Эта величина соответствует обработке на-
101

блюдений за Меркурием с 1765 по 1937 г. Так была объяснена прецессия перигелия орбиты Меркурия. Было показано, что для практических задач закон Ньютона дает хорошие результаты, но для больших скоростей и вблизи больших масс нужны иные законы.
Достижения космонавтики — величайшее подтверждение закона всемирного тяготения. Скорость, с которой должно двигаться тело у поверхности Земли, не падая на нее, называется первой космической. Она определяется из равенства ускорения свободного падения и центростремительного ускорения при условии, что тело движется по круговой орбите с радиусом, равным радиусу Земли, и равна 7,9 км/с. Впервые эта скорость была достигнута 4 октября 1957 г., когда советская ракета вывела на орбиту вокруг Земли первый искусственный спутник массой всего 83,6 кг. Он просуществовал как космическое тело 92 сут, совершив 1400 оборотов вокруг Земли. Искусственные спутники Земли несут трудовую вахту, решая многие задачи (дальняя радиосвязь, телевидение, метеорология, навигация, разведка, сейсмология и др.). Первый спутник был выведен на орбиту советской двухступенчатой ракетой-носителем «Спутник», ставшей основой для семейства ракет «Восток» и «Союз». Принцип действия ракеты можно объяснить с помощью второго и третьего законов Ньютона. Равенство кинетической и потенциальной энергии гравитации служит условием отрыва ракеты от Земли и выхода на параболическую (незамкнутую) траекторию и определяет вторую космическую скорость, равную 11,2 км/с. Старт первой автоматической станции «Луна-1» 2 января 1959 г. позволил впервые преодолеть рубеж второй космической скорости и выйти за пределы околоземного пространства. 12 апреля 1961 г. в космос был выведен космический корабль «Восток» с первым летчиком-космонавтом Ю. А. Гагариным. Так началась новая эра в истории освоения космоса людьми.
У. Гершель, открывший планету Уран и два ее спутника и измеривший звездный параллакс, хотел доказать, что «острова» во Вселенной существуют, каждый из них состоит из миллионов звезд, удерживаемых вместе за счет взаимного притяжения. Как Гюйгенс и Ньютон, он считал, что все звезды имеют одинаковую светимость, и тогда яркая звезда в паре со слабой должна быть ближе, чем слабая, и ее смещение за год будет больше. За 1782—1784 гг. Гершель измерил угловые расстояния почти 700 звезд, но смещения были не те, что он ожидал. Только в 1803 г. он понял, что открыл орбитальные движения звезд, образующих физические пары, компоненты которых движутся вокруг общего центра масс по закону Ньютона (они были названы визуально-двойными). Значит закон тяготения Ньютона всемирен. На его основе Гершель, Кант и Ламберт стали объяснять видимые явления во Вселенной. Гершель открыл двойные звезды, составил каталог двойных и кратных звезд (1784).
102

Кроме того, Гершель установил, что звезды в некоторых парах имеют разную светимость, а таких пар с отличающимися яркостями в сотни раз оказалось множество. Это не объясняется разной удаленностью звезд в паре. Все наблюдаемые в телескоп звезды образуют вместе с Млечным Путем тот «остров», к которому принадлежит и наше Солнце, а далекие «мировые острова» представляются нам туманностями, как считал и Кант. Гершель решил, что планетарные туманности — звездные системы в последней стадии гравитационного коллапса, а «звезды, их образующие в результате некоторых нарушений или утраты энергии, уже не могут больше поддерживать своего первоначального положения... и, наконец, собираются вместе и вследствие соударений объединяются в новое тело». Это объясняло природу «новой» звезды, которую видел Тихо Браге в 1572 г. в созвездии Кассиопеи, а И. Кеплер в созвездии Змееносца. Гершель обнаружил в 1790 г. новое явление — «звезду примерно 8-й величины со слабосветящейся атмосферой!» Это была планетарная туманность NGC 1514. И он нашел объяснение — это звезда, конденсирующаяся из облака светящегося вещества под действием гравитации. Так У. Гершель еще раз подчеркнул единство Вселенной и роль в этом закона всемирного тяготения.
Итак, подтверждением закона всемирного тяготения являются: в Солнечной системе — предсказание возвращения кометы Галлея, объяснение движений Луны, оценки планетных возмущений, обнаружение планеты Нептун по возмущениям планеты Уран, а затем планеты Плутон, сплюснутость Земли у полюсов, траектории астероидов, полеты космических аппаратов и т. п.; вне Солнечной системы — движение звезд в системе двойных звезд и звездных систем. Но и вне Солнечной системы использование закона тяготения привело к появлению ряда парадоксов (фотометрическому, космологическому и др.), которые были разрешены только в ОТО.
В закон Ньютона входит универсальная гравитационная постоянная G, определенная в опытах Кавендиша. Знание Gпозволило «взвесить» Землю, определить ее среднюю плотность, которая оказалась больше, чем вблизи поверхности. Значит, плотность растет с глубиной, Земля неоднородна. Это подтверждают и другие исследования, в частности сейсмические. На земной поверхности ускорение свободного падения почти постоянно, отличаясь из-за сплюснутости у полюсов на 0,18 % и из-за центробежных сил при перемещении от экватора к полюсу — на 0,34 %.
Уровень земных морей и океанов, испытывающий периодические изменения, связанные с лунными сутками, зависит от приливного (или дифференциального) гравитационного притяжения. С ним же связаны и другие эффекты. Например, лунные сутки примерно на час длиннее, ось вращения Земли испытывает прецессию с периодом примерно 26 000 лет, большая ось лунной орбиты вращается в прямом направлении (в направлении ее орбитального движения) с периодом почти 9 лет, точки пересе-
103

чения лунной орбиты с земной (узлы лунной орбиты) движутся несколько назад вдоль орбиты с периодом 18,6 лет и т.д. При этом приливообразующая сила Луны более чем в 2 раза превышает силу Солнца, поскольку эта сила пропорциональна кубу расстояний (что следует из расчета с использованием закона тяготения Ньютона).
Точное и устойчивое решение задачи трех тел, как было показано позднее Лагранжем, возможно только в том случае, когда три тела лежат в вершинах равностороннего треугольника, вращающегося вокруг центра масс данной системы с постоянной угловой скоростью 2π/Т. Эти точки устойчивости определяют оптимальные условия работы космических станций.

3.5. Связь законов сохранения со свойствами пространства и времени

Закон тяготения Ньютона определяет притяжение двух точечных масс. Для двух точечных неподвижных зарядов сила электростатического взаимодействия (закон Кулона) имеет такой же вид, как и в поле гравитации, только вместо масс будут стоять заряды qи Q. Знак зарядов может быть разным в отличие от масс, которые всегда положительны, и сила может быть притягивающей (-) или отталкивающей (+). Если тело не подвергается внешнему воздействию, его состояние движения остается постоянным. При взаимодействии двух тел, изолированных от других тел, сохраняется импульс Р = Мv. Инертная масса М определяется так, чтобы импульс при столкновении двух тел оставался неизменным. В такой системе сохраняется сумма кинетической и потенциальной энергий, или полная энергия системы Е. В изолированной системе сохраняется и момент импульса L, который часто называют кинетическим моментом (см. стр. 93).
Реакция вращающейся системы на внешнее воздействие проявляется в гироскопических эффектах. Земля — большой волчок, и ось ее вращения сохраняет свой наклон по отношению к горизонтали (плоскости эклиптики) практически неизменным, но испытывает прецессию относительно вертикальной оси.
Потенциальную энергию считали равной «ушедшей на время» кинетической энергии ради сохранения энергии при взаимодействиях. Выделим три случая:
а) в поле гравитации потенциальная энергия пропорциональна вертикальному смещению тела и его инертной массе Eп.гр= Mgh. Более точным является выражение GmM/r, в которое входят расстояние до центра Земли r и универсальная постоянная G. По мере удаления от центра Земли потенциальная энергия начинает убывать скорее, и в знаменателе этой формулы будет стоять r2. При малых перемещениях вблизи поверхности сохраняется Mgh;
104

б)  потенциальная энергия пружины пропорциональна квадрату ее де
формации
в)  магнитная потенциальная энергия в грубом приближении об
ратно пропорциональна первой степени расстояния между магнита
ми:
Наклон графика зависимости потенциальных энергий от расстояния дЕ/дх отражает тенденции изменения.
Сила, которую развивает система при убывании ее потенциальной энергии, равна: Сила измеряется в ньютонах: 1 Дж/м = 1 Н.
Для указанных выше значений потенциальных энергий получим значения силы по записанной выше формуле. Поскольку для потенциальной энергии гравитации, равной Mgh, график — прямая с постоянным наклоном, сила гравитации равна Mg, т. е. силе тяжести тела, и направлена вертикально вниз. Для сжатой пружины потенциальная энергия пропорциональна х2, поэтому сила пропорциональна упругости пружины и величине сжатия и направлена в противоположную сторону: F= -kx. Для отталкивания цилиндрических магнитов потенциальная энергия пропорциональна обратной величине расстояния между полюсами магнитов, поэтому сила пропорциональна обратной величине квадрата расстояния, т. е. 1/х2.
Работа — скалярное произведение силы на перемещение, на протяжении которого она действует; можно записать: А = Fx. Но работа равна изменению потенциальной энергии той системы, на которую сила воздействует. А сила может увеличить и скорость тела (кинетическую энергию), и его потенциальную энергию, связанную с его положением.
Отсюда иное определение силы: это изменение потенциальной энергии системы, отнесенное к тому расстоянию, на котором оно произошло, и равное изменению импульса системы, отнесенному к тому времени, за которое оно произошло. Это понятие наглядно, оно сохранилось с древних времен, а в современной науке является производным от энергии, сохраняющейся в замкнутых системах.
Итак, в изолированных системах при движении сохраняется полная энергия системы. Кроме того, для поступательного движения сохраняется импульс, а для вращательного — момент импульса. Поскольку последние две величины — векторные, каждой из них соответствует по три сохраняющихся компоненты импульса и момента импульса. Таким образом, при взаимодействиях в изолированных системах имеют место семь сохраняющихся величин.
Установленные связи между свойствами пространства и времени и законами сохранения содержались в скрытой форме в принципах классической механики Галилея— Ньютона. Галилей рассматривал пространство и время как реальности, существующие вне нашего сознания. Его
105

принцип относительности отражал однородность и изотропность пространства. У Ньютона пространство и время абсолютны в том смысле, что свойства пространства не зависят от движущихся в нем тел и протекающих механических явлений, а свойства времени — от движущейся материи. Пространство и время не связаны между собой, они как бы арена, где происходят события. Однородность и изотропность пространства и времени необходимо следуют из законов Ньютона.
Впоследствии оказалось, что законы Ньютона можно заменить единым постулатом — вариационным принципом, который был удобнее во многих отношениях, его можно использовать при формулировке сложных задач. В механике материальной точки этот постулат равноценен законам Ньютона. Схему, основанную на законах Ньютона, иногда называют векторной механикой, поскольку она имеет дело с векторными величинами, например скоростью, силой, ускорением.
Аналитическая механика построена по схеме, введенной Лейбницем и развитой Эйлером, Лагранжем, Гамильтоном. Ее величины — скаляры, и динамические соотношения получаются через операции дифференцирования. Методы аналитической механики позволили решать более сложные задачи. Оказалось, что их можно распространить на теорию поля или квантовую механику, где механика Ньютона теряет свою применимость. Вместо понятия массы в аксоматической роли появляется импульс р, определяемый как произведение массы на скорость — производную по времени от координаты. Как и в обычной механике, частицу описывают с помощью координат qв пространстве, причем для системы из N частиц пространство имеет 3Nизмерений. К пространственным координатам qjдобавляются импульсные координаты qj- 3N, а материальная точка описывается шестью обобщенными координатами в так называемом фазовом пространстве.
В аналитической механике для замкнутых систем существуют такие функции координат и скоростей материальных точек, которые при движении системы не меняются. Их называют интегралами движения. Если в системе N материальных точек, то сохраняющихся величин будет N- 1. Среди них есть такие, которые обладают свойством аддитивности, т.е. значение интеграла движения для системы, состоящей из невзаимодействующих частей, равно сумме значений для каждой из частей в отдельности. Все эти три сохраняющиеся величины (или семь скалярных) — интегралы движения.
Эстетически вернее было бы постулировать законы механики в аналитической форме, а потом показать, что в некоторых ограниченных простейших случаях можно получить законы Ньютона. Но векторная форма проще и нагляднее, поэтому решение — какой путь избрать при обучении — неоднозначно. В аналитической механике показывается, что со-
106

стояние любой системы можно описать введением функции Лагранжа, зависящей от координат и скоростей. И, если известно, что в моменты времени t1 и t2система занимает определенные положения, характеризуемые наборами координат, то среди возможных движений между этими положениями реальным будет то, вдоль которого действие будет иметь минимум (вернее, экстремум).
Действием называется величина—
скалярная функция обобщенных координат qi(i — индекс координаты), скоростей и времени t. Системы с N степенями свободы имеют N сохраняющихся величин. Но не все они одинаково важны, некоторые имеют общее значение, связанное со свойствами симметрии пространства и времени. В 1918 г. немецкий математик Э.Нетер доказала теорему о том, что с симметри-ями связаны законы сохранения. С однородностью времени оказался связан закон сохранения энергии, с однородностью пространства — закон сохранения импульса, с изотропией — закон сохранения момента импульса. И эти законы сохранения потому и стали великими, что связаны и определяются свойствами симметрии пространства и времени. На фундаментальный характер свойств симметрии обратил внимание еще И. Кеплер в своем труде «О гармонии мира», опубликованном в 1619 г.
«Симметричное обозначает нечто, обладающее хорошим соотношением пропорций, а симметрия — тот вид согласованности отдельных частей, который объединяет их в целое. Красота тесно связана с симметрией», — писал Г. Вейль. При этом он ссылался не только на пространственные соотношения, но также синонимом симметрии считал гармонию, указывающую на акустические и музыкальные приложения идеи симметрии. Многим творениям человеческих рук симметричная форма придается как из эстетических, так и практических соображений. Свойствами симметрии занимались многие кристаллографы — Е. С. Федоров, Г. В. Вульф, А. В. Шубников и др. И каждый из них отмечал в различных проявлениях симметрии в кристаллах основополагающую роль строения материи и всеобщий характер влияния симметрии на окружающий мир.
Центральная симметрия (поворотная) широко распространена в природе (вспомним причудливую симметрию снежинок).
Трансляционная симметрия (пространственная) представлена в многочисленных орнаментах, дошедших до нас из древности. Временная трансляционная симметрия прослеживается во всех периодически повторяющихся процессах. Примерами их могут быть и монохроматическая волна, и песни, и стихи, и колебательные химические реакции, и художественные произведения.
Зеркальная симметрия в геометрии относится к операциям отражения или вращения. Она была особо почитаема в Древнем Во-
107

Понятия симметрии играют в жизни человека важную роль. Природа красива и требует для своего описания красивых уравнений. Возможность записать законы природы с помощью математических формул — величайшее открытие человечества.

3.6. Колебания и волны в природе и их описание. Гармонический осциллятор

Современный мир полон волн: волны звука, распространяющиеся в воздухе и других средах; переменный ток, используемый в быту и технике; волны механических колебаний в струнах, колебания в кристаллах кварца, используемые для стабилизации частот
108

радиопередатчика или в часах; волнение и зыбь в озерах, прудах и океанах; волны землетрясений, изучаемые в сейсмологии; электромагнитные волны, которые в оптическом и радиодиапазонах используют для передачи информации; волны вероятности, которые в мире квантов описывают поведение микрочастиц и более сложных форм вещества.
Механические колебания — это периодические движения. Чаще всего они возникают при нарушении устойчивого состояния равновесия системы, при этом равнодействующая сил не равна нулю. Одна из сил должна зависеть от времени, и система должна обладать избыточной энергией. За период колебаний выполняется закон сохранения и превращения энергии. Колебания могут происходить при наличии упругих сил, силы тяжести; электрические колебания (напряжений и сил токов) происходят в электрических цепях. Несмотря на разную природу колебаний, в них обнаруживаются общие закономерности. Физическая система, совершающая колебания, называется осциллятором.
Колебания массы, прикрепленной одним концом к пружине, простой пример гармонического движения. Математический маятник состоит из точечной массы, подвешенной на невесомой и нерастяжимой нити. При малой амплитуде почти каждый колебательный процесс можно считать линейным (рис. 3.3).

109

Это выражение — основной закон простого гармонического колебания: ускорение материальной точки математического маятника пропорционально смещению.
На языке колебаний и волн наиболее ясно предстает единство природы. Гармонические колебания описываются функцией, изменяющейся по закону синуса или косинуса:  где - постоянные величины; А — амплитуда колебаний,
 — круговая частота — период колеба-
ний; 1/Т = v — частота). Если амплитуда со временем убывает, то колебания называются затухающими; если колебания происходят под действием внешней, периодически изменяющейся силы, их называют вынужденными; если же колебания происходят после выведения системы из состояния равновесия, то это — свободные колебания. Колебания могут иметь разную природу, но они обладают общими чертами и подчиняются общим закономерностям, что позволяет единым образом рассматривать механические, электрические и другие колебания. Колебания классифицируют по способу возбуждения (собственные, вынужденные, параметрические и автоколебания), по зависимости изменяющейся величины от времени и пр. С точки зрения кинематики различают периодические и непериодические колебания.
Всякая система, совершающая колебания, обладает своими свойствами, которым соответствуют собственные колебания, а им — собственные частоты. Если на систему подействовать периодически меняющейся силой, то система откликнется малыми колебаниями, частота которых будет совпадать с частотой вынуждающей силы. Если частота этой силы совпадет с одной из собственных частот системы, то амплитуды колебаний резко возрастут. Такое явление называется резонансом. Резонанс имеет место при настройке радиоприемника на частоту передающей станции. В нелинейных системах, содержащих источник энергии, могут возникать незатухающие колебания и без внешнего воздействия — это автоколебания.
Любое повторяющееся движение можно рассматривать как результат сложения простых гармонических колебаний, а любое волновое движение — как сумму простых гармонических волн. Этот тезис, доказанный (1822) французским математиком и физиком Ж. Б. Фурье, служит основой для изучения повторяющихся явлений в самых разных областях. Волновые свойства света и микрочастиц лежат в основе современной картины мира. Гармоническое колебание играет значительную роль при изучении любых колебаний (особенно в акустике и оптике).
Волны — это изменение состояния среды, распространяющееся в ней без переноса вещества и несущее с собой энергию и импульс. Энергия, импульс и скорость — важнейшие характеристики волн. Процесс распространения колебаний (волна) может
110

быть описан в общем виде математически. Основные свойства волн можно изучить на простых примерах и сформулировать общие положения, которые будут справедливы для любого типа волн.
Морские волны бьются о берега, при штормах ворочают огромные камни и переворачивают корабли. Телецентр излучает волны мощностью в десятки тысяч ватт, малую долю которых улавливают телевизоры. Волны переносят энергию любой величины от одной точки к другой, распространяясь с конечной скоростью, зависящей от среды их распространения: так, световые волны распространяются со скоростью 300 000 км/с, звуковые (в воздухе) — 344 м/с. Электромагнитные волны, приходящие на Землю от Солнца, имеют плотность мощности порядка 1 кВт/м2 в широком диапазоне длин волн; эта энергия преобразуется зелеными растениями в химическую. При сжигании дерева или угля эта энергия вновь высвобождается. Наличие импульса у электромагнитных волн менее заметно, но оно было даже измерено П.Н.Лебедевым (1912). Существуют проекты использования светового давления на огромные паруса для передвижения в Солнечной системе.
Монохроматической называют волну от гармонического источника. Если колебания происходят по гармоническому закону, при распространении от источника до точки на расстоянии zволна приходит с некоторым запаздыванием, связанным с конечной скоростью распространения волны:  Волновой фронт — геометрическое место точек, колеблющихся в одной фазе. Он отделяет область пространства, вовлеченную в волновой процесс, от той, где колебания еще не возникли. В зависимости от волновой поверхности волны могут быть плоскими или сферическими. В плоской волне амплитуда постоянна, а в сферической — убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от источника.
Если тело участвует в нескольких волновых движениях, то эти движения складываются в одно. Волновое движение образуется, если колеблющихся частиц много и они связаны между собой. Каждая испытывает влияние возвращающих сил, поэтому сами частицы или части пружины больших перемещений не совершают, но вдоль пружины распространяется импульс. Следя за перемещением импульса, проходящего расстояние dxза время dt, можно ввести его скорость как v= dx/dt. При не очень больших возмущениях среды волновое движение подчиняется принципу суперпозиции — два импульса распространяются независимо. Если два импульса проходят через пружину и друг через друга, смещение пружины оказывается равным алгебраической сумме отдельных смещений. Импульсы гасят друг друга в момент встречи (если имеют противоположные знаки) или складываются (при одинаковом направлении распространения).
Бегущая волна образуется следующим образом. Пусть один конец пружины или струны закреплен и ни одна точка не испытывает смещений, а ко второму концу приложена сила, которая
111

начинает в момент времени t = 0 поднимать и опускать его. При распространении этого воздействия на соседние участки по струне или пружине побежит волна со скоростью Расстояние х,
которое данный участок волны проходит за время t, равно vt. Период T возбуждающего колебания и будет периодом волны, за время T волна распространяется на расстояние, называемое длиной волны  Тогда скорость волны Отсюда
Амплитуда волны меняется по закону: Из
выражения для скорости волны получаем: Зависимость
амплитуды волны от координаты в любой момент времени имеет вид:
В поперечных волнах частицы перемещаются перпендикулярно направлению распространения волны. Смещение среды может также вызвать импульс, распространяющийся перпендикулярно к нему. Такой эффект наблюдают, когда резким боковым движением посылали импульс вдоль веревки. В электромагнитных волнах направления электрического и магнитного полей перпендикулярны направлению распространения волны.
В продольных волнах частицы перемещаются вдоль направления распространения волны, например, распространение звука в воздухе или волн сжатия—растяжения в самой пружине. В звуковых волнах плотность газа, где распространяется звуковая волна, меняется по закону синуса.
В твердых телах распространяются продольные волны, в случае неоднородной плотности могут распространяться и поперечные. Стоячая волна (рис. 3.4) возникает, если у струны закрепить оба конца. Импульс будет отражаться от обоих концов, распространяясь по струне. Так как расстояния между импульсами

дить стоячие волны, даже если ее узлы приходятся на точки закрепления струны: .... На соседних участках колебания противоположны по фазе. Стоячие волны на струне можно представить и как результат сложения двух бегущих волн. При наложении друг на друга они создадут весьма устойчивую картину.
Понятие стоячих волн, зародившееся в науке о звуковых колебаниях, распространилось и на другие колебательные системы, благодаря чему была решена задача теплового излучения, приведшая к созданию квантовой гипотезы. С использованием этой модели и волновой механики сумели описать строение атома. В современной теории атом рассматривается как система, обладающая определенными формами стоячих волн с характеристическими частотами. Вместо орбит в модели атома Бора теперь вводят замкнутые кольца стоячих волн. Чем дальше орбита, тем большее число пучностей должно войти в это кольцо. По тому же принципу строятся модели для атомного ядра. Волны — это не просто участки струны, отклоняющиеся вверх и вниз, и даже не колеблющиеся электроны, а мера вероятности того, что частица находится в данном месте.
Поверхностные волны распространяются по поверхности раздела сред. Волны на поверхности воды сопровождают перемещение судов. Если создать возмущение на поверхности воды, то возникнут волны. Частицы жидкости, находящиеся вблизи впадины, при создании возмущения будут стремиться заполнить ее под действием тяжести, создавая волны в воде. Частицы волны будут двигаться почти по окружностям, т. е. как бы совмещая свойства продольных и поперечных волн, но отличаясь от них обеих. Радиусы окружностей с глубиной уменьшаются до нуля. Скорость распространения волны с зависит от X: для длинных волн — пропорциональна для коротких а для средней длины — от всех перечисленных параметров (здесь р — плотность жидкости,  — коэффициент поверхностного натяжения). Значит, длинные волны вызваны силой тяжести, а короткие — силой поверхностного натяжения. Если длина волны меньше глубины водоема, то вблизи дна наблюдается чисто продольное движение, а на поверхности и вблизи нее каждая частица воды движется по эллипсу (комбинации колебаний в двух направлениях).
Необычную волну — уединенную — наблюдал в 1834 г. шотландский ученый Дж. Рассел. Баржу тянули по каналу; после неожиданной остановки приведенная ею в движение масса воды остановилась около носа баржи, а затем оторвалась от него. И это уединенное возмущение покатилось по каналу с большой скоростью, не меняя формы. Рассел заметил, что не меняется и скорость С этой уединенной волны, она зависит от глубины канала hи высоты волны Кроме того, одна большая
волна может распадаться на несколько волн, которые проходят
113

одна через другую, подобно малым волнам на поверхности. Многие отнеслись критически к открытым Расселом свойствам уединенной волны.
Уравнение для описания длинных волн на воде вывели датские ученые Д.Д. Кортевег и Г. де Фрис (1895). Их уравнение, известное по имени авторов как уравнение КдФ, является дифференциальным уравнением в частных производных и годится для описания самых разных нелинейных волн. Если скорость линейных волн зависит от длины волны и не зависит от амплитуды, то для нелинейных волн существенны обе зависимости. Точное решение имеется лишь для волн в ряде случаев. Нелинейные волны начал изучать еще великий немецкий математик Георг Риман. Нелинейность проявляется при «опрокидывании» набегающих волн, которую можно наблюдать на речной отмели или в прибое на берегу моря. При нарастании крутизны волны может образоваться волна в виде ступеньки, которую называют бором. Бор — один из примеров ударной волны. Другие примеры ударных волн — взрывной звук, слышимый, когда реактивный самолет проходит звуковой барьер или когда пастух щелкает бичом. Ударные волны в воздухе — явление сложное; на фронте ударной волны скачком растут давление, плотность, температура, и значения этих скачков столь велики, что происходит яркое свечение (например, при ядерном взрыве, при падении метеоров-болидов).
Уравнение КдФ, после того как стали разрабатывать методы его решения на ЭВМ, используется для описания ионно-звуковых волн в плазме, волн возбуждения в живой материи, дислокаций в кристалле, распространения сверхкоротких световых импульсов в оптических средах и др. На его основе разработаны методы решения дифференциальных уравнений в частных производных (так называемый метод обратной задачи рассеяния).
При исследовании сложения двух уединенных волн оказалось, что высокие уединенные волны движутся скорее, так как после взаимодействия волн сохраняются их форма и скорость, процесс похож на упругое столкновение двух частиц. Такую волну назвали солитоном (от англ. solitary — уединенный). И солитоны в самом деле ведут себя как частицы. При соприкосновении таких волн большая замедляется и уменьшается, а малая ускоряется и увеличивается. И далее — по циклу, подобно упругим мячам. Результатом взаимодействия солитонов может быть лишь сдвиг фаз. Океанические солитоны (цунами, «девятый вал») могут возникать не только на поверхности, но и в глубинах, тогда из-за неоднородностей среды они образуют «групповые солитоны» (смерчи или торнадо). В нелинейной оптике наблюдается эффект самоиндуцированной прозрачности, эти солитоны естественно использовать для передачи информации по оптическим волокнам. Механизм усиления солитонов похож на явление комбинационного рассеяния света.
Аналогичный механизм распространения имеет и «элементарная частица мысли» — нервный импульс. Было установлено, что по нерву распространяется не электрический ток, а некоторая электрохимическая реакция, порождающая бегущий импульс напряжения. При этом передний фронт импульса не расплывается, т. к. диффузия ионов через мем-
114

брану носит нелинейный характер — подавляет малые отклонения от нормального состояния и усиливает большие. Огромное количество вихрей — это тоже солитоноподобные образования.

3.7. Распространение звука в средах и реакция организма на звуковые волны

Звуковыми называют упругие волны, вызывающие у человека ощущение звука. Среди них различают: тоны или музыкальные звуки; шумы; звуковые удары. Гармонический процесс — это чистый или простой тон, а ангармонический — сложный тон. Сложный тон раскладывают на простые, при этом наименьшая частота — основной тон, а обертоны или гармоники имеют частоты, кратные основному. Набор частот с указанием интенсивно-стей компонент называют акустическим спектром. Шум — это звук со сложной неповторяющейся временной зависимостью: согласные звуки речи, скрип, шорох, вибрации машин. Звуковой удар — это кратковременное звуковое воздействие: взрыв, хлопок и др.
Колеблющаяся плоская пластинка возбуждает в среде бегущую волну с амплитудой и частотой распространяющуюся от источника,
и передает слою воздуха массой некоторую энергию.
Максимальная кинетическая энергия этого слоя
 — плотность слоя воздуха. Но при простом гармоническом движении средняя потенциальная энергия равна средней кинетической, и это выражение описывает запас энергии в слое площадью А и толщиной Пусть колебания начинаются при t= 0 и распространяются в воздухе со скоростью — расстояние, на которое распространится возмущение за время At. Разделив выражение
для энергии на получим: где Р —
мощность, излучаемая колеблющейся пластинкой в направлении х. Зная мощность, приходящуюся на единицу площади, вычисляют интенсивность любой бегущей волны, т. е. и звука. Выражение для интенсивности звука получим, разделив обе части этого выражения для мощности на А:
Итак, интенсивность звуковой волны пропорциональна квадрату амплитуды и определяется как скорость потока энергии через единичное поперечное сечение. Наименьшая интенсивность звука, которую слышит человеческое ухо, порядка I0 = 10-12Вт/м2, ее называют порогом слышимости.
Реактивный самолет, набирающий высоту недалеко от человека, создает интенсивность звука в 1015 раз, а поезд метро - в 1010 раз большую. Болевой порог интенсивности — 1012I0, это значе-
115

ние может достигаться на концертах рок-музыки. Приведенные показатели степени, умноженные на 10, определяют децибель-ную шкалу интенсивности звука, названную в честь Генриха Белла. Интенсивность звука в децибелах и обозначается дБ. Тогда порог слышимости составляет 0 дБ, а концерт рок-музыки — 120 дБ. Санитарная норма соответствует 30 — 40 дБ.
Шумовая болезнь проявляется в повышенном артериальном давлении, быстрой утомляемости, плохом сне и ослабевании слуха. Тембр звука при одинаковых громкости и высоте тона определяется спектральным составом звука, испускаемого разными источниками. Звуковые волны распространяются в воздухе со скоростью около 330 м/с при нормальных условиях, причем их скорость не зависит от частоты.
Человеческое ухо способно воспринимать только часть звуковых колебаний, которые, попадая на барабанную перепонку, возбуждают нервную реакцию. Для оценки интенсивности звука удобнее использовать звуковое давление, возникающее в среде при прохождении звука.
Интенсивность звука I связана с давлением p, плотностью среды и скоростью звука с соотношением: Высота звука определяется частотой колебаний: она тем выше, чем больше частота. Интервалу волн длиной от 20 м до 1,6 см, воспринимаемых ухом, соответствует диапазон частот между 16 и 20 000 Гц соответственно. Звуковые частоты и соответствующие им длины волн (Гц/м) приведены ниже:

Указанные пределы слышимости относятся к молодым людям. С возрастом диапазон сокращается, мужчины начинают утрачивать чувствительность к высоким нотам раньше, чем женщины. В среднем возрасте они уже не воспринимают звуки выше 12 000 Гц, а после 50 лет верхняя часть спектра звуков оказывается недоступна. Интересно, что воспринимаемый нами диапазон звуков шире того, который используется для речи или пения (100—1000 Гц). Но когда высокие частоты гаснут (как правило, в недорогих акустических системах), то теряются яркость и красота звучания, а если низкие частоты, звук кажется монотонным, хотя высота тона воспринимается верно.
Уже у античных авторов можно найти указания на то, что звук обусловлен колебательным движением (Птолемей, Евклид). Аристотель отметил, что скорость звука имеет конечную величину, причем не одинаковую для низких и высоких тонов. Он представлял этот процесс так: «Звук происходит оттого, что звучащее тело определенным образом приводит воздух в движение, который при этом сжимается и растягивается
116

и ударами звучащего тела проталкивается все дальше и дальше, отчего звук и распространяется во все стороны».
С XVII в. начались попытки определения скорости звука. Скорость распространения упругих продольных волн совпадает со скоростью распространения импульса, сообщенного одному концу упругого стержня. Продольные волны в стальной проволоке плотностью 8 г/см3 и с модулем упругости 2,06 107 Н/м2 должны иметь скорость распространения 5 • 1000 м/с. При этом она не зависит ни от амплитуды, ни от частоты колебаний, пока упругие деформации подчиняются закону Гука.
Громким пением какой-либо ноты над открытым музыкальным инструментом можно возбудить стоячую волну основной моды в струне, частота которой соответствует взятой высоте тона, и затем услышать, как струна звучанием отзывается на голос, пока в ней не затухла стоячая волна.
Замечательную связь между числами и законами музыкальной гармонии открыл еще Пифагор. Он использовал монохорд — струну, закрепленную на одном конце и перекинутую через острие ножа, так что к ней можно было подвешивать гири, создавая различные натяжения. Тогда было известно и об ощущениях, вызываемых разными комбинациями тонов: одни были приятными, другие — диссонирующими. Пифагор доказал, что приятные сочетания создают струны с одинаковым натяжением, длины которых находятся в отношении 2:1, два таких тона отличаются на интервал в одну октаву. Интервал 3 :2 получил название квинты. Он отметил, что приятные сочетания связаны с простыми числами, характеризующими отношение длин.
Таким образом, высота тона закрепленной струны связана с ее длиной. Для одной и той же струны, колеблющейся с одной, двумя, тремя и более пучностями, частоты колебаний находятся в пропорции 1: 2: 3 и т.д. Уменьшение длины струны в 2 раза приводит к повышению тона рождаемого ею звука на октаву. На основании подобных закономерностей Пифагор разработал теорию музыкальной гаммы и гармонии. Пифагор и его последователи — пифагорейцы — верили, что в основе природы лежат математические закономерности. По законам гармонии строилась и их космологическая система.
Идею о выделении в любом сложном колебании основного тона и гармоник выдвинул Г. Гельмгольц (1862). Звучание любого инструмента определяется пропорциями гармоник. Из-за гармоник звук флейты отличен от звука скрипки, хотя колебания воздуха в трубе, флейте или органе одни и те же. Правда, колокольчики не образуют простой ряд целых чисел, поэтому их звучание не столь мелодично. Еще из опытов с маятниками поняли, что сущность музыкального звука в его периодичности. Галилей заметил, что осциллятор резонирует на действие периодической силы, когда ее частота совпадет с собственной частотой маят-
117

ника, определяемой его длиной. Он соорудил простую систему — погрузил бокал почти по самый край в сосуд с водой и, слегка ударяя по краю, извлекал из бокала звуки различной тональности. Вокруг бокала появлялась радиальная рябь. Галилей отметил, что при изменении высоты тона на октаву рябь усиливается. Чтобы сделать количественную оценку, он сопоставил массу единице длины и подсчитал, что частота тона зависит от корня квадратного из «размера» струны. Впоследствии Галилей дал правило для определения частот колебаний струн, сделанных из разных материалов.

3.8. Описание волновых процессов. Типы и свойства волн. Спектр и его анализ

Волны могут отражаться (звук от стены, свет от зеркала, водяные волны от преграды) и преломляться (когда ход луча изгибается из-за попадания в среду с другой скоростью распространения). Для понимания волновых свойств необходимо перейти к волнам — плоским и трехмерным, встречаемым в природе. Звук в воздухе распространяется во все стороны от сферического источника. При опускании в воду плоской доски, когда один ее конец погружен и приводится в движение в вертикальном направлении, получаются бегущие по поверхности двухмерные плоские волны. Электромагнитные волны, сохраняющие движение электрической и магнитной компонент в плоскостях, перпендикулярных направлению распространения волны, тоже являются плоскими.
Дисперсией называется зависимость показателя преломления п света от частоты колебаний v (или длины волны X). Ньютон отметил, что разложение белого света в спектр — проявление дисперсии. Направив разложенный на составляющие свет на вторую призму, он получил вновь белый свет, значит, белый свет есть набор цветов с разным показателем преломления п, который связан со скоростью vраспространения света в этой среде:
Сравним их для фиолетового и красного цветов:
Поскольку частоты для той же среды, то и
скорости Таким образом, в одном и том же веществе ско-
рости света для разных частот различны, различны и показатели преломления п, причем п зависит от v.
Явление дифракции (от лат. diffractus— разломанный) возникает, если плоская волна длиной попадает на преграду с щелью шириной s. Оно было впервые описано как новый тип отклонения света за отверстием в посмертной публикации Ф. Гримальди в 1665 г. Результаты своих опытов он объяснял по аналогии с волнами вокруг брошенного в воду камня.
118

Явление интерференции (или сложение когерентных волн) наблюдается и для поперечных, и для продольных волн. Оно происходит, если щелей на пути волны несколько или волна распространяется от нескольких источников. Рассмотрим два источника. При размере щели никаких искажений практически не на-
блюдается. Если наблюдается картина, существенно зави-
сящая от того, в какой фазе каждая из волн подошла к щели. Волны называются когерентными, если разность фаз между ними подчинена определенному закону.
Принцип Гюйгенса, объясняющий явление отражения, преломления и двойного лучепреломления света с позиций волновой теории, сформулирован в «Трактате о свете» (Х.Гюйгенс, 1678). Суть принципа в следующем (рис. 3.5): когда волновой фронт проходит через отверстия, каждый элемент фронта ведет себя так, как если бы стал источником излучения.

Приняв существование эфира (для распространения звука нужна среда, для света — нет, значит, среда должна быть невесомой, разреженной, проникающей во все поры и в то же время жесткой и упругой), Гюйгенс за механизм распространения выбрал аналогию с пламенем. Каждая точка пламени сообщает движение частицам окружающего эфира, т.е. создает собственную волну, а каждая частичка эфира, которой достигла волна,

становится, в свою очередь, центром новой волны. Так движение и распространяется от точки к точке через вторичные сферические волны, как и пожар. И каждая точка волнового фронта — источник новых волн, огибающая которых станет волновым фронтом в следующий момент, и так далее. Для наблюдения интерференционных эффектов не обязательно иметь отдельные источники света.
Как принцип Гюйгенса и принцип суперпозиции объясняют картину интерференции? Если две щели являются источниками волн, то какова картина интерференции в точке Р, не погасят ли волны друг друга? Вторая волна должна пройти до этой точки большее расстояние, чем первая, и разность хода получится Если в точно укладывается целое число то в точке Р одновременно окажутся максимумы обеих волн (волны придут в фазе), и амплитуды возрастут. Это условие конструктивной интерференции запишется так:  = N, где  N = = 0, 1, 2, 3, ..., п. Если же разность хода составляет нецелое число полуволн, то максимумы одной волны окажутся в точке Р смещенными на  относительно максимумов другой волны, т.е. окажутся в противо-фазе. Условием этого является равенство: где N= О, 1, 2, 3, ..., я. В точках, где разность фаз волн находится между этими значениями, будет промежуточная картина.
Волновую природу света впервые показал экспериментально английский ученый, врач, человек с очень разносторонними интересами, известный как египтолог, расшифровавший древние иероглифы, первоклассный музыкант Томас Юнг. Ему же принадлежит и термин физическая оптика.
Т. Юнг стал заниматься волновыми движениями в связи с изучением человеческого голоса (периодических изменений усиления и ослабления звука, воспринимаемого ухом). В 1801 —1803 гг. ученый представил материалы своих исследований по свету и звуку Королевскому обществу. Они содержали его формулировку принципа интерференции: для получения интерференции нужно, чтобы обе волны из одного источника (с одинаковым периодом), прошли различный путь до исследуемой точки и, попав в эту точку, шли почти параллельно.
Юнг продемонстрировал эффект интерференции, проколов булавкой два отверстия в прозрачном экране и направив на него свет, проходящий через маленькое отверстие: темные полосы отмечали провалы волн, светлые — сложение их максимумов. Из картины проведенного опыта он первым (и с удивительной точностью) измерил длины волн, составляющие белый свет, и получил 1/36 000 дюйма (0,7 мк) для красного цвета и 1/60 000 дюйма (0,42 мк) для фиолетового.
Интерференция волн с близкими частотами, распространяющимися с одной скоростью и в одном направлении, приводит к биениям. Получается синусоидальная волна с колеблющейся амплитудой (по гармоническому закону), а частота биений равна разности частот отдельных волн (см. рис. 3.3). Чтобы получить биения для звуковых волн, можно провести опыт с двумя аналогичными музыкальными инструментами. Возьмите две струны, звучащие на одной ноте, и, чуть-чуть изменив высоту тона одной из них, вы услышите, как быстро возрастает и умень-
120

шается интенсивность звучания, как бы пульсирует. Если пульсация происходит медленно, попробуйте подсчитать количество биений в секунду.
Дифракционная картина получается, если между щелями расстояния небольшие (порядка длины волны). Такая система щелей называется дифракционной решеткой. Пучок белого света при попадании на нее разбрасывается достаточно широко, и по обеим сторонам от узкой белой центральной полосы становятся видны широкие цветные полосы — спектры. Изучением и измерением спектров занимается специальная наука — спектроскопия. С ее помощью был определен состав и земной атмосферы, и небесных тел. Длины волн измеряются с погрешностью до 10-10, а смещения — еще точнее. Исключительная узость спектральных линий, строгая закономерность распределения их по шкале частот и смещение спектральных линий в электрическом и магнитном полях дали много сведений о строении атомов.
Явление поляризации, свойственное только поперечным волнам, состоит в следующем: луч света, пропускаемый через два кристалла исландского шпата, подвергался двойному лучепреломлению в зависимости от взаимной ориентации осей кристаллов.
В начале XIX в. французский физик Э. Малюс обнаружил, что поляризованным оказывается луч света, отраженный от поверхности воды под углом Оказалось, что поляризация возникает при отражении луча от поверхности, а угол определяется коэффициентом преломления вещества. Он объяснил явление полярностью световых корпускул, ориентирующихся в кристалле или при отражении (закон Малюса). Закономерности поляризации изучили до 1815 г., но их объяснил О.Френель только через семь лет, для чего пришлось признать свет поперечной волной. Продольные волны не поляризуются. Обычно направление поляризации связывают с направлением вектора Е, плоскость поляризации — это плоскость, содержащая вектор Е и направление распространения волны. Тогда вектор H будет перпендикулярным этой плоскости (см. рис. 2.6, в). Если направление достается у волны неизменным, волна называется плоско- или линейно-поляризованной.
Большинство источников испускает некогерентный и неполяризо-ванный свет, когда направление вектора E непрерывно меняется в плоскости, перпендикулярной направлению распространения. Неполяризо-ванный свет поляризуется при пропускании через поляризатор. Таковым может служить экран из ряда тонких параллельных проволочек для микроволнового излучения или фильтр из кристаллической пластинки (турмалина, исландского шпата, кварца или пленки кристаллов герапатита, нанесенной на стекло). Неполяризованный солнечный свет приобретает поляризацию при отражении от поверхностей воды, песка, дороги и т.д.
121

При этом, если ось поляроида перпендикулярна плоскости поляризации отраженного света, отражение гаснет. Поляризованный свет применяется для гашения зеркальных бликов при фотографировании, предупреждения ослепления водителя встречным транспортом, регулирования освещенности и др.
Излучаемый каждым атомом свет строго поляризован. Но направления векторов поляризации от всех атомов определяются чисто случайными причинами и не имеют определенной ориентации в пространстве. И световой луч можно уподобить нити, состоящей из множества свитых волнистых волокон. Для поляризации луча надо привести этот хаос в порядок, что и делают те или иные поляризационные фильтры.

3.9. Эффект Доплера, его исследование и значение для науки

Зависимость частоты волнового импульса от скорости при движении источника волн относительно наблюдателя называют эффектом Доплера. Эффект Доплера имеет место для всех типов волн — звуковых в атмосфере, упругих в твердом теле, волн на воде, световых волн.
Австрийский физик и астроном К.Доплер обнаружил эту зависимость в 1842 г. Многие слышали, как меняется звук свистка проносящегося мимо платформы поезда. Первое подтверждение эффекта было получено для акустических волн в опытах голландского физика с группой музыкантов на железной дороге (1845). Часть группы разместилась на платформе, двигавшейся с известной скоростью вдоль перрона, где находились остальные, воспринимая их музыку. Затем музыканты поменялись ролями. Данные, полученные от непосредственных впечатлений участников опыта, хорошо укладывались в формулу Доплера.
Но эффект Доплера можно не только «слышать», но и «видеть», хотя бы в ванне или пруду (рис. 3.6). Периодически погружая палец в воду,

чтобы на поверхности образовались волны, равномерно перемещайте его в одном направлении. Следуя друг за другом, гребни волн в направлении движения пальца будут сгущаться, т. е. длина волны станет меньше обычной, в направлении назад — больше.
Период волны, излучаемой неподвижным источником, равен  где — длина волны, излучаемой покоящимся источником, v— скорость волны в среде. Пусть источник движется со скоростью и в сторону
122

наблюдателя. Тогда длина волны, воспринимаемая неподвижным наблюдателем, равна

Поскольку системы отсчета, связанные с источником и наблюдателем, инерциальны, где — частота волны в системе отсчета наблюдателя, - частота волны в системе отсчета источника. Отсюда

Здесь знак «-» соответствует движению источника от наблюдателя, а знак «+» — движению источника к наблюдателю.
Таким образом, частота волны, регистрируемая наблюдателем, отличается от частоты волны, излучаемой источником, на величину, равную доплеровскому сдвигу частоты:

Пусть теперь источник движется со скоростью w. Тогда относительная длина волны, воспринимаемая наблюдателем, равна

где u-w — относительная скорость движения источника и наблюдателя. Отсюда частота волны, воспринимаемая наблюдателем, равна

Для доплеровского сдвига частоты получаем

Следовательно, доплеровский сдвиг частоты равен частоте волны в системе отсчета источника, умноженной на коэффициент, равный относительной скорости источника и наблюдателя, деленной на скорость распространения волны в среде.
Измерение доплеровского смещения в спектрах позволяет с большой точностью и, не возмущая измерением движение и систему, определить скорости движущихся объектов. Французский физик А.Физо предложил (1848) использовать эффект Доплера для измерения радиальной составляющей скорости звезд по сме-
123

щению спектральных линий (эффект Доплера—Физо). Он заметил, что в линейчатых спектрах можно измерять смещение. В 1867 г. английский астроном У. Хеггинс измерил доплеровское смещение водородной линии в спектре Сириуса и сравнил его с той же линией в спектре, полученном в лаборатории. Он заключил, что скорость звезды относительно Земли равна 66,6 км/с, а относительно Солнца — 47,3 км/с. Но для доказательства применимости эффекта Доплера к свету нужно было найти объект, скорость которого можно было бы измерить и другим способом. В 1871 г. немецкий астроном Г. Фогель измерил доплеровские смещения для двух точек солнечного экватора, находящихся на краях диска, и определил их линейную скорость — 2 км/с, что совпадало с результатом, полученным по движению пятен. Затем определили скорости вращения планет, колец Сатурна, звезд вокруг своей оси, ядер и хвостов комет.
Академик А. А. Белопольский считал, что нужно провести проверку в земных условиях, поскольку неизвестны условия излучения в Космосе. С этой целью в 1894 г. он разработал установку, состоявшую из двух колес, к каждому из них в виде лопастей прикреплялись 8 плоских зеркал. Зеркала обоих колес были строго параллельны и вращались с постоянной скоростью. Съемки проводились при неподвижных зеркалах и при вращающихся с частотой 32 — 44 об/с (это соответствовало перемещению изображения со скоростью 240 — 330 м/с). Обработка результатов дала хорошее совпадение по числу оборотов колес и доплеровскому смещению. Вращение производилось в обе стороны поочередно. Опыт длился всего 1 ч, но он бьш наиболее убедительным в применении эффекта Доплера к свету.
Эффект Доплера как основной в оптике движущихся сред сыграл решающую роль в обосновании СТО. Физо поставил (1851) классический эксперимент по определению увлечения эфира движущейся Землей. Он заставил интерферировать два луча света, проходящих столб воды: один в направлении течения, а другой — против него. Если эфир увлекается, то полосы должны смещаться по отношению к положению, соответствующему неподвижной воде. К тому же результату пришли Э. Кеттлер (1871) и Май-кельсон и Морли (1886) — эфир движется вместе с Землей. Ранее Майкельсон пытался обнаружить «эфирный ветер» при движении Земли в эфире, посылая световые лучи по взаимно перпендикулярным путям и заставляя их интерферировать. Хотя линейная скорость Земли (29,7 км/с) много меньше скорости света и установка позволяла засечь и в 100 раз меньший эффект, опыт дал отрицательный результат. Опыты, показывавшие увлечение эфира, противоречили объяснению явления аберрации (от лат. aberratio— отклонение), требовавшей неподвижности эфира. Это противоречие было разрешено отказом от эфира и созданием СТО.
124

Когда картина мира стала меняться на квантовую, возникла необходимость в ином объяснении эффекта Доплера. Как отмечал известный немецкий физик А. Зоммерфельд, казалось почти невозможным трактовать эффект Доплера как обусловленный взаимным сближением или удалением волновых поверхностей. В 1922 г. один из создателей квантовой механики австрийский физик-теоретик Э. Шредингер дал такое обобщение формулы Доплера для частоты на случай больших скоростей.
Метод для измерений скоростей звезд и галактик, основанный на эффекте Доплера, получил в астрономии наиболее впечатляющее применение.
Спектры галактик слабы, измерения достаточно трудны. Американский астроном В.Слайфер с помощью мощного спектрографа, соединенного с телескопом, измерил доплеровский сдвиг в спектре туманности Андромеды (1912), затем — еще в тринадцати спиральных галактиках. Скорости большинства из них были направлены в противоположную сторону от Земли и составляли до 1800 км/с. К 1925 г. Слайфер измерил лучевые скорости еще 45 спиральных галактик, и все они, кроме нескольких ближайших, удалялись, а скорость удаления почему-то возрастала по мере уменьшения их яркости, будто они разбегались от Млечного Пути во всех направлениях с возрастающей скоростью. Чтобы согласовать это с однородным распределением галактик в пространстве, пришлось считать, что это — однородное расширение. Но тогда их лучевая скорость (проекция скорости на луч зрения) должна быть пропорциональна расстоянию до них. Так, если галактика выглядит в 100 раз слабее, значит, она в 10 раз дальше. Галактики из списка Слайфера имели лучевую скорость 1800 км/с, а расположенные в 10 раз дальше — 180000 км/с (половина значения скорости света).

Для формулирования закона пришлось искать возможность определения расстояния до галактик независимым образом. Параллакс для ближних звезд можно измерить по методу, предложенному еще Фалесом, для далеких — искать некий индикатор расстояний. Американский астроном Г.Левитт обратила внимание на четкую зависимость периода цефеид от яркости (рис. 3.7). Цефеиды — наиболее яркие звезды в небольшой ближайшей к нам галактике — Малом Магеллановом Облаке. Название они получили от типичной цефеиды — дельта звезды созвездия Цефея. Датский астроном Э. Герцшпрунг сразу оценил идею Левитт и отка-либровал выведенную ею зависимость период-яркость в период-светимость и определил расстояние до этой галактики в 200 тыс. св. лет. Хаббл с помощью 100-дюймового телескопа обнаружил цефеиды в нескольких галакти-

125

ках и смог оценить расстояние до них. Так Хаббл в 1929 г. вывел прямую линию на графике зависимости скоростей далеких галактик от расстояния до них (рис. 3.8).
Итак, скорости удаления vгалактик возрастают пропорционально расстоянию до них: v= Н r, где Н — постоянная Хаббла. Сейчас считается, что H = 75 км/(с • Мпк).
Расширение Вселенной — самое грандиозное из известных в настоящее время явлений природы. Если допустить, что оно и раньше происходило теми же темпами, то можно оценить, когда же началось расширение. Этот промежуток времени составляет 13 — 20 млрд лет. Таким образом, смещение спектральных линий из-за эффекта Доплера привело к новой картине расширяющейся Вселенной.

3.10. Явление резонанса. Резонансы в движении планет

Явление резонанса — это резкое возрастание амплитуд вынужденных колебаний, происходящее при совпадении частоты вынуждающей силы с собственной частотой системы или при приближении к ней. Явление имеет наиболее простой характер, если внешнее воздействие не меняет колебательных свойств системы и свойства системы, со своей стороны, не меняют внешнего воздействия. Если отношения частот колебаний кратны отношению целых чисел, говорят, что они находятся в резонансе. При этом если взаимодействие тел поддерживает кратность частот, то резонанс устойчив. Вообще свойства резонанса частот обеспечивают устойчивость вращений и обращений в Солнечной системе. Вращение Луны резонансно ее обращению.
В середине XVII в. немецкий математик Д.Тициус для ряда из расстояний планет до Солнца нашел правило: S = 0,4 + 0,3 • 2n, n=1, 2, 3, ..., где и — номера планет в Солнечной системе. Астроном И.Э.Боде дал разъяснения, и получилось правило расстояний Тициуса—Боде. Отличие от реальности было порядка 2,4 %. В 1956 г. астроном В. Чистяков нашел другую гармонию: натуральные логарифмы больших полуосей планет ложатся на прямую линию. Есть попытки выразить согласованность через «золотую пропорцию», через числа Фибоначчи. Поиски скрытого смысла закономерностей строения Солнечной системы про-
126

должаются, в этом отражается единство природы и единство науки.
Синхронизация вращающихся тел в технике заставляет вращаться с одинаковыми или кратными скоростями несколько роторов, связанных малыми силами. При этом между вращениями устанавливаются определенные фазовые соотношения. Подобное можно ожидать и в Солнечной системе, и в регуляризации излучения звезд. Многие миллионы лет эволюционировало газопылевое облако, вращаясь вокруг Солнца. Ритмы этих вращений сказывались в формировании комочков материи, вокруг которых группировались другие, давшие начало планетам.
Вращаются все планеты и их спутники, и угловая скорость их вращения пропорциональна массе. Вероятно, это — следствие образования планет из одной туманности. Столкновения частиц сильнее происходили в центре масс системы, куда собирался почти весь газ первоначальной туманности — образовалось Солнце. Но почти весь момент импульса оказался сосредоточенным в планетах. Когда на Солнце начались термоядерные реакции, оно стало звездой, легкие газы под действием его излучения собрались на периферии вращающейся туманности. Так образовались большие планеты — газовые шары. Планеты же земной группы образованы из более твердого вещества. По закону сохранения момента импульса при сжатии вещества вращающейся туманности в плотные шары скорость вращения должна расти. Поэтому у планет-гигантов скорость вращения оказывается больше. И зависимость угловой скорости вращения от масс планет почти линейна. Отклонения связаны с замедлением, вызванным тормозящим действием спутников планет.
В системе Земля—Луна отношение масс составляет всего  1/81,3, и они тормозили друг друга. Среднее расстояние до Луны У других планет спутники много легче (кроме
Плутона и его спутника Харона). Хотя в Солнечной системе есть спутники и более близкие к своим планетам, но солнечные затмения на Земле особенные — угловые диаметры Солнца и Луны почти равны друг другу, и поэтому бывают полные солнечные затмения. Под действием притяжения Луны земная орбита испытывает колебания, амплитуда которых определяется  = 4700 км. Поэтому орбита Земли несколько «волнообразна», и в каждое полнолуние (Солнце и Луна находятся по разные стороны от Земли) мы ближе к Солнцу на 1,5 R3, чем в предыдущее. Это колебание мало по сравнению с вытянутостью орбиты Земли, но меняет движение Луны — совокупность ее орбит за время прецессии Земли (с периодом 26 тыс. лет) представляет некий тор. Его воздействие на Землю равно усредненному за это время действию Луны. Сплюснутость Земли, составляющая всего 1/300, достаточна для того, чтобы притяжение этим «бубликом» экваториально-
127

го уширения фигуры Земли создало пару сил, стремящуюся развернуть Землю так, чтобы ее экватор совпал с плоскостью эклиптики. Если бы Луны не было, земная ось все равно испытывала бы прецессию под действием Солнца и планет, но ее период прецессии был бы около 100 тыс. лет, а Луна меняет его. Еще больше сказывается близость Луны в явлении приливов и отливов.
Приливы вызываются Солнцем и Луной не только в водной оболочке Земли. Под их влиянием даже твердая Земля несколько удлиняется — до 30 см. Земля тоже «вытягивает» Луну на 40 см. Взаимное расположение Солнца и Луны меняет величину приливов. Если их приливные действия складываются (во время полнолуния или новолуния), то приливы большие — сизигийные (от греч. syzygia— соединение, пара), если Луна находится в первой или третьей четверти, то приливы существенно меньше и называются квадратурными. Из-за приливных сил Луна обращена к Земле одной стороной, ее период вращения вокруг своей оси сравнялся с ее «годом».
Почти в той же ситуации находится Меркурий: его сутки равны 59 земным, и он успевает всего три раза обернуться вокруг своей оси за два оборота вокруг Солнца, т. е. за свои сутки проходит 2/3 своего годового пути. На Венере вращение происходит тоже медленно. Существует гипотеза, что Меркурий и Венера раньше вращались по одной орбите. У Меркурия наибольшая вытянутость орбиты, и Солнце, расположенное в фокусе эллипса, значительно смещено от центра, поэтому скорость у Меркурия в перигелии в 1,52 раза выше, чем в афелии. Оценим период между двумя восходами Солнца на Меркурии
 Получается, что солнечные сутки на Меркурии втрое больше звездных и вдвое больше периода обращения. Если нарисовать «годовой путь» Меркурия, то видно, что в перигелии Меркурий обра-
128

щен к Солнцу то одним боком, то другим, а в афелии прогреваются его полюсы.
У Венеры ось вращения почти перпендикулярна плоскости ее орбиты, поэтому можно приписать знак минус ее периоду вращения: Р = = -243,16 сут. Она вращается медленнее и в противоположную сторону, в отличие от других планет, кроме Урана. Для них момент орбитального импульса близок к моменту импульса собственного вращения. Периоды вращения Р иобращения Т Венеры связаны с периодом обращения Земли Т3следующим равенством: Вычислим период
сближения на минимальное расстояние Венеры с Землей (соединений планет): = 583,92 сут. Перейдем в
систему отсчета неподвижной Земли, и теперь период сближения окажется временем возвращения Венеры к Земле после оборота ее вокруг Солнца. Полученное число 583,92 земных суток соответствует пяти суткам на Венере, т.е. за время между сближениями Венеры с Землей над горизонтом Венеры Солнце взойдет всего пять раз. И  = 116,8 — это
солнечные сутки Венеры.
Поскольку  = 146,0, то наблюдатель на Венере увидел бы за это
время восход Земли ровно 4 раза. Значит, в моменты соединений Венера повернута к Земле всегда одной стороной (в центре этой «нашей» стороны находится высокая гора — вулкан Максвелл). Кроме того, периоды обращения Венеры и Земли соотносятся как 8:13, т.е. за 8 лет происходит 13 оборотов Венеры вокруг Солнца и 5 соединений с Землей. Не только Венера, а вся система Солнце—Венера—Земля ориентируется по отношению к звездам одним из пяти способов, а не произвольно. И эта упорядоченная ситуация повторяется (рис. 3.9).
Большие планеты при вращении имеют свои особенности, показывающие, что они — газовые шары. Планеты земной группы вращаются как твердые тела, тогда как скорости вращений планет-гигантов зависят от широты и, видимо, от глубины. Все эти кинематические особенности планет сказываются на их внутренней динамике и связаны с эволюцией планеты.

Вопросы для самопроверки и повторения

1. Сформулируйте основные законы и понятия классической механики материальной точки. Как моделируется система, состоящая из двух и более материальных точек? Приведите примеры задач, в которых можно считать Землю материальной точкой, а в каких — нельзя.
2. Сформулируйте законы сохранения импульса и момента импульса в классической механике и свяжите их с законом динамики Ньютона. Приведите примеры использования этих законов. Как они связаны со свойствами симметрии пространства-времени и почему фундаментальны?
3. Дайте представление о модели гармонического осциллятора и использовании этой модели. Что такое «когерентность», «резонанс», «поляризация»? Объясните, почему Луна обращена к Земле одной стороной.
4. В чем суть законов Кеплера? Поясните их связь с законом всемирного тяготения. Насколько применима модель, принятая Ньютоном? И как она была уточнена?

129

1. Поясните понятия «энергия» и «сила», укажите на связь между ними. Какие виды энергии вы знаете? В каких системах энергия сохраняется, как закон сохранения энергии связан со свойствами симметрии пространства-времени?
2. Приведите доказательства справедливости и применимости закона всемирного тяготения на Земле, в Солнечной системе и за ее пределами. Какие явления, произошедшие в последние годы и подтверждающие этот закон, вы можете привести?
3. Поясните понятия «момент силы» и «момент импульса». Как изменяются кинетическая, полная и потенциальная энергии планеты при ее движении вокруг Солнца? В какое время линейная скорость движения Земли по орбите наибольшая и почему?
4. Опишите, как будет меняться вес тела при движении его от поверхности Земли к Луне. Объясните причины возникновения приливов на Земле и особенности наблюдения за затмениями Луны и Солнца.
5. В чем состоит эффект Доплера и какова его роль в исследовании звезд, Вселенной?

10.  Как реализовались в построении науки о движении материи дедук
тивный и индуктивный методы? Постройте логическую схему построения
механики и смежных дисциплин. Оцените, к каким объектам и в какой
степени могут быть применены модели, используемые в механике.
.

Комментарии (2)
Обратно в раздел Наука