Шпенглер О. Закат Европы. Образ и действительность. т.1

ОГЛАВЛЕНИЕ

ГЛАВА ПЕРВАЯ

8

Решающая роль деятельности Декарта, чья геометрия поя-
вилась в 1637 г., заключалась не в установлении нового метода или новых воззрений в области традиционной геометрии,

* Во II в. по Р.X. Александрия перестает быть мировым городом и превращается в сохранившуюся от времени античной цивилизации массу домов, в которых обитает примитивно чувствующее, душевно иначе устроенное население. Об этом феномене мы скажем позднее.

132

как это принято говорить, но в окончательной концепции но-
вой идеи числа, выразившейся в освобождении геометрии от
оптических приемов конструкции и вообще от измеренных
или измеряемых расстояний. Таким образом получил свое
осуществление анализ бесконечного. Неподвижная, так называемая картезианская система координат, идеальный представитель измеримых величин в полуэвклидовском смысле, имевшая еще значение в предшествующий период, как, например, у Николая Оресмского, была не столько закончена благодаря Декарту, но, если заглянуть глубже в его рассуждения, совершенно преодолена им. Его современник Ферма был последним представителем старой классической теории.
Вместо чувственного элемента конкретного отрезка прямой линии и поверхности - специфического выражения античного чувства предела - появляется элемент отвлеченно-пространственный и таким образом совершенно не античный элемент точки, характеризуемой отныне как группа сопряженных чистых чисел. Декарт разрушил литературно унаследованное понятие величины, чувственных размеров и заменил его изменяющейся значимостью отношений положения в пространстве. Однако упускают из вида, что это было равносильным упразднению геометрии вообще, которая с того времени среди мира чисел анализа ведет только призрачное существование, завуалированное античными реминисценциями. В слово "геометрия" вложен неустраняемый аполлоновский смысл. После Декарта так называемая "новая геометрия" превратилась или в синтетический процесс, определяющий посредством чисел положение точек в каком-нибудь пространстве, притом не обязательно трехмерном (в некоторой "множественности точек"), или в аналитический процесс, определяющий числа положением точек. Заменять отрезки прямой положениями - значит воспринимать понятие протяженности чисто пространственно, но уже не телесно.
Классическим примером этого разрушения принятой по
наследству оптически-конечной геометрии, по моему мнению,
является обращение круговых функций, имевших в индийской математике в совершенно малопонятном для нас смысле значение чисел - в циклометрические функции и дальнейшее их разрешение в ряды, утратившие в бесконечной числовой области алгебраического анализа признаки даже самого отдаленного сходства с геометрическими образованиями в стиле Эвклида. Число л , так же как и основание натуральных логарифмов, создает в этой числовой области, повсюду вновь появляясь, отношения, разрушающие всякие границы прежней геометрии, тригонометрии и алгебры, не имеющие

133

ни арифметического, ни геометрического характера, при обращении с которыми притом никто более не думает ни о действительно нарисованных кругах, ни о действительном исчислeнии степеней.

9

Подобно тому, как античная душа в лице Пифагора около
54 г. выработала свою концепцию аполлоновского числа как
измеримой величины, западноевропейская душа в лице Декарта и его современников (Паскаля, Ферма, Дезарга) в точно соответствующую эпоху открыла идею числа, родившуюся из страстного фаустовского стремления к бесконечному. Число как чистая величина, привязанная к телесному наличию отдельных вещей, имеет параллелью число как чистое отношение. Если определять античный мир, космос, исходя из его внутреннего требования видимой границы, как исчисляемую сумму материальных предметов, то, со своей стороны, наше мирочувствование находит свое выражение в образе бесконечного пространства, в котором все видимое воспринимается как нечто обусловленное по отношению к чему-то безусловному, или даже, пожалуй, как действительность низшего порядка. Его символом является решающее, ни в какой другой культуре не встречающееся понятие функции. Функция не есть какое-то расширение одного из ранее имевшихся числовых понятий; она является их полным преодолением. Таким образом, не только эвклидовская, т.е. общечеловеческая популярная геометрия, но и архимедовская сфера элементарного счисления, т.е. арифметика, перестают существовать для действительной обладающей значением математики Западной Европы. Остается один отвлеченный анализ. Для античного человека геометрия и арифметика были научными комплексами высшего порядка, причем и та и другая были наглядными и обращались с величинами при помощи графических и счетных приемов; для нас они только практические пособия повседневной жизни. Сложение и умножение, эти два античных метода счисления величин, родственных графическому конструированию, совершенно исчезают в бесконечности функциональных процессов. Так, например, степени, по своему принципу являющиеся первоначально просто числовыми обозначениями определенных групп умножений (для множителей одинаковой величины), при посредстве нового символа показателя степени (логарифм) и способа его применения в комплексных, отрицательных и дробных формах становятся совершенно отрешенными от понятия величины и переносятся

134

в трансцендентальный мир отношений, который для грека,
знавшего только две целые степени в качестве изображения
поверхности и тела, является совершенно недоступным (стоит
только припомнить такие выражения, как е-? ,nvx , а1/ i).
Все глубокомысленные создания, быстро следующие одно
за другим, начиная с эпохи Ренессанса, как-то: мнимые и
комплексные числа, введенные Карданом уже в 1550 г., бес-
конечные ряды, получившие благодаря великому открытию
закона бинома Ньютоном в 1666 г. точное теоретическое
обоснование, открытие логарифмов в 1610 г., дифференцильной геометрии, определенного интеграла Лейбницем, открытие множества как новой числовой единицы, намеченное уже Декартом, новые процессы, как-то: неопределенного интегрирования, развертывание функций в ряды, даже в бесконечные ряды других функций, - все они являются столькими же победами над укоренившимся в нашей душе популярно-чувственным ощущением чисел, которое нужно еще было преодолеть в духе новой математики, имевшей своей целью осуществить новое мирочувствование. Не было еще ни одной другой культуры, которая относилась бы с равным уважением к созданиям иной, давно погибшей культуры и давала такой простор в своей науке ее влияниям, как это делала западноевропейская по отношению к античной. Прошло много времени, пока мы нашли в себе смелость думать своим умом. На первом плане всегда лежало стремление во всем сравняться с античностью. Однако каждый шаг в этом направлении был удалением от намеченного идеала. Поэтому история западноевропейской науки представляет собою картину непрерывной эмансипации от чуждого и освобождения, к которому никто не стремился, но которое вынужденно вырастало из глубины бессознательного. Таким образом, развитие новой математики сложилось в тайную, долгую, наконец, победоносную борьбу против понятия величины.

10

Антикизирующие предрассудки помешали подобающим
образом изобразить западноевропейское число. Усвоенный на-
ми в математике язык знаков ложно отражает действительное
положение вещей, и ему, главным образом, приходится при-
писать то обстоятельство, что даже до настоящего времени
среди математиков распространено воззрение, будто числа
суть величины, а наш способ письменного изображения, несомненно, основан на этой точке зрения.

135

Однако новое число есть не эти отдельные знаки, служащие для выражения функций ( х , ?, 5), но сами функции как
единицы, как элементы, как изменяющиеся отношения, не
допускающие никакого заключения в оптические границы.
Для них была бы нужна новая символика, независимая в своем построении от античных воззрений.
Стоит уяснить себе существенную разницу двух уравнений - так, гетерогенные вещи не следовало бы даже обозначать одинаковым именем, - как следующие: 3x + 4 x = 5 x и x x +y x = z x (уравнение Ферматовой теоремы). Первое состоит из нескольких "античных чисел" (величин), второе само по себе есть число особого рода, причем это обстоятельство затушевано идентичным способом начертания, развившегося под впечатлением эвклидовско-архимедовских представлений. В первом случае знак равенства устанавливает неподвижную связь между определенными, осязаемыми величинами, во втором он выражает отношение, существующее внутри группы изменяющихся образований, причем одни изменения безусловно влекут за собою другие. Первое уравнение имеет целью определение (измерение) конкретной величины, т.е. известное "решение", второе не преследует вообще никакого решения, но является изображением и знаком определенного отношения, исключающего при условии n > 2- в этом и заключается знаменитая Ферматова проблема - с доказуемой вероятностью значения, выражающиеся целыми числами. Греческий математик не понял бы, каков смысл этой операции, не имеющей конечной целью никакого "вычисления".
Понятие неизвестных, будучи применено к буквам Ферматова уравнения, вводит в полнейшее заблуждение. В первом уравнении, в "античном", х есть величина определенная и измеряемая, которую предстоит определить. Во втором, в применении к х, у, z, n слово "определять" не имеет никакого смысла, следовательно, имеется в виду отыскать "значение" этих символов, следовательно, они вообще не являются числами в пластическом смысле, но знаками для определенного отношения, лишенного признаков величины, формы и единой значимости, для бесконечного множества возможных положений одинакового характера, и эти возможности, воспринятые, как нечто единое, и есть число. В нашем способе
начертания, применяющем, к сожалению, многочисленные и
сбивающие с толку знаки, все это уравнение является в действительности одним числом, а х, у, z являются числом в такой же малой мере, как + или = .
Уже введение понятия иррациональных, в сущности своей совершенно антиэллинских чисел, в самой его основе

136

разрушило понятие конкретных, определенных чисел. С этого момента числа перестали быть обозримым рядом возрастающих, раздельных, пластических величин и превратились в непрерывность одного измерения, каждое сечение которой (выражаясь словами Дедекинда) представляет "число, едва ли по праву заслуживающее прежнее наименование". Для античного разумения между 1 и 3 существует только одно число, для западноевропейского - бесконечное множество. Наконец, вместе с введением в употребление мнимых (v-1= i ) и комплексных чисел (изображаемых общей формулой а + bi), расширяющих линейную непрерывность до пределов в высшей степени трансцендентального образования числового тела (некоторая совокупность множества однородных элементов), каждое сечение которого представляет собою числовую плоскость, - некое бесконечное множество меньшей "мощности", вроде совокупности всех реальных чисел, - исчезли даже последние остатки антично-популярной осязаемости. Эти числовые плоскости, играющие начиная с Коши и Гаусса видную роль в теории функции, являются чисто умственными образованиями. Еще положительные иррациональные числа, как v2, могли быть усвоены античным числовым мышлением по крайней мере негативным путем, причем их не считали бы за числа, как '??'?'???? или ?????? , но выражения вида х + уi лежат по ту сторону всех возможностей античного мышления. На распространении арифметических законов на всю область комплекса, в пределах которого они имеют постоянную применимость, основана теория функций, отныне выражающая западноевропейскую математику во всей ее чистоте, причем все отдельные области ею поглощаются и в ней растворяются. Только таким образом эта математика становится вполне применимой к картине одновременно развивающейся динамической физике Запада, в то время как античная математика является точным коррелатом пластического мира отдельных предметов, изображенного в статической физике Аристотеля, представляющей собой научную интерпретацию античного космоса.
Классической эпохой этой математики барокко - в противоположность математике ионического стиля – является XVIII век; она начинается с решительных открытий Ньютона и Лейбница, и через Эйлера, Лагранжа, Лапласа и д'Аламбера простирается до Гаусса. Расцвет этого великого создания мысли был похож на чудо. Едва решались верить тому, что видели. Открывали истины за истинами, казавшиеся проницательным умам скептически настроенной эпохи невозможными. Такое значение имеют слова д'Аламбера: "Allez en

137

avant et la foi vous viendra". Они касались теории дифференциальных дробей. Казалось, сама логика восстает против этого, казалось, все предположения основаны на ошибках, и все же цель была достигнута.
Это столетие восторженного опьянения одухотворенными, недоступными телесному глазу формами, - ведь рядом с
упомянутыми мастерами анализа стоят Бах, Глюк, Гайдн и Моцарт, причем упивался этими утонченными открытиями и
игрой форм только небольшой круг избранных, куда не имели доступа ни Гёте, ни Кант, - вполне соответствует по своему содержанию столетию зрелости ионической эпохи, столетию Платона, Архита и Евдокса (450-350 гг.) - и опять следует прибавить Фидия, Поликлета, Алкамена и постройки Акрополя, - когда мир форм античной математики и пластики достиг полного расцвета своих возможностей и также своего завершения.
Теперь представляется возможным обозреть изначальную
противоположность античной и западной духовной стихии. Во
всей картине истории высшего человечества не найдется ничего более внутренне друг другу чуждого. Именно потому, что противоположности соприкасаются и, может быть, указуют на общность сокровеннейших глубин существования, в западноевропейской фаустовской душе мы находим это странное искание и стремление к идеалам аполлоновской души, которую она одну из всех понимала и чья неизменная преданность чувственно-чистой действительности возбуждала ее зависть.
Эту, не поддающуюся более точному определению словами, душевную противоположность осуществили во внешнем мире ставшего, ограниченного, преходящего две исторические единицы, а именно античная и западная культуры, из которых одна возникла в позднемикенскую эпоху, другая в эпоху саксонских императоров, и обе закончили свое развитие в лице Аристотеля и Канта, Платона и Гёте, Фидия и Бетховена, Александра и Наполеона.
Теперь также становится понятным все значение символики, нашедшей, пожалуй, свое самое непосредственное выражение в мире чисел обеих математик, но область которой распространяется гораздо дальше. Мы видим, что математика говорит на одном языке со всеми сопутствующими искусствами и вообще со всеми созданиями повседневной жизни, на языке форм, в котором одновременно и проявляются и скрываются глубочайшие возможности душевной стихии. В ближайшем родстве с математикой - мистические архитектуры ранних периодов: дорическая; готическая, раннехристианская,

138

а также и египетская Древнего Царства. Здесь, на почве египетской культуры, оба мира формы никогда окончательно не разделялись. Архитектура больших пирамидных храмов есть молчаливая математика, равным образом и античная душа не проводила строгого разделения между своей символикой статуарной и геометрической. Но и анализ остался архитектурой высочайшего стиля, и мы понимаем теперь, почему эти две системы счисления, из которых одна утверждает значение границ видимого с такой же страстностью, с какой другая отрицает, должны были иметь рядом с собой связанные с ними кровными узами родства такие два искусства, как ионийская пластика и немецкая музыка, наиболее чувственная и наиболее отрицающая чувственное из всех возможных форм художественного творчества.
11

Уже ранее упоминалось, что для первобытного человека и
для ребенка наступает момент известного внутреннего переживания, рождения своего я, когда оба получают способность понимать феномен чисел и приобретают представление о внешнем мире по отношению к своему я.
Когда из общего хаоса впечатлений перед изумленными
глазами первобытного человека начнет выделяться в широких очертаниях этот брезжущий мир устроенных протяженностей и разумного ставшего, и глубоко ощущаемая непреодолимая противоположность этого внешнего мира и собственной души даст направление и облик сознательной жизни, одновременно, наряду со всеми возможностями новой культуры, родится прачувство тоски и стремления в этой душе, внезапно осознавшей свое одиночество. Тоска и стремление к цели становления, к завершению всех внутренних возможностей, к развитию идеи собственного существования. Тоска и стремление ребенка, все с большей ясностью вступающие в сознание в виде чувства неизбежности направления и позднее стоящие перед зрелым умом как жуткая, заманчивая, неразрешимая загадка времени. Слова "прошедшее" и "будущее" вдруг получают роковое значение.
Однако это тоскующее стремление, возникшее из полноты
и блаженства внутреннего становления, является вместе с тем в глубочайших тайниках каждой души и чувством страха. Как всякое становление имеет своей целью ставшее, в чем и находит свой конец, так прачувство становления, тоскующее стремление, уже соприкасается с чувством завершения, со страхом. В настоящем ощущается исчезновение; в прошедшем

139

лежит тленность. Здесь коренится вечный страх перед непоправимостью, достижением, окончательностью, перед преходящим, даже перед миром, как уже осуществленным, где рядом положены границы рождения и смерти, страх перед мгновением, когда возможное осуществлено, жизнь внутренне наполнена и закончена, когда сознание достигло своей цели. Это та глубокая боязнь мира, свойственная детской душе, которая никогда не оставляет человека высшего порядка, верующего, поэта, художника в его безграничном одиночестве, боязнь перед чуждыми силами, великими и угрожающими, облеченными в чувственные образы, вторгающимися в брезжущий мир. Равным образом, и направление всего становления в его неумолимости - необратимости - воспринимается с полной внутренней достоверностью как нечто чуждое. Что-то чуждое превращает будущее в прошедшее, и эта сторона сообщает времени, в противоположность пространству, ту полную противоречий жуткость и давящую двойственность, от которых не может вполне освободиться ни один значительный человек.
Боязнь мира, несомненно, есть наиболее творческое из
всех исконных чувствований. Ему обязан человек наиболее
зрелыми и глубокими из числа форм и образов не только сознательной внутренней жизни, но и ее отражений в бесконечных явлениях внешней культуры. Как тайная, не всем слышная мелодия проходит эта боязнь сквозь язык форм каждого настоящего произведения искусства, каждой искренней философии, каждого великого деяния, и она же лежит, чувствуемая лишь очень немногими, в основе проблем всякой математики. Только внутренне умерший человек, житель большого города поздней эпохи, птоломеевской Александрии или нынешних Парижа и Берлина, только чисто интеллектуальный софист, сенсуалист или дарвинист утрачивает или отрицает ее, водружая между собой и чуждым лишенное тайн "научное мировоззрение".
И если тоскующее стремление связано с тем необъемлемым нечто, чьи бесчисленные изменяющиеся, как Протей, образования скорей затушевываются, чем обозначаются словом "время", то исконное чувство боязни находит свое выражение в духовных, доступных, способных к восприятию образов символах протяженности. Таким образом, в бодрствующем сознании всякой культуры, принимая в каждой своеобразный характер, находят себе место противолежащие друг другу формы времени и пространства, направления и протяженности, причем первая лежит в основе второй - так же как тоскующее стремление лежит в основе боязни; это

140

стремление становится боязнью, а не наоборот: первая недоступна для силы ума, вторая служит ей, первая - переживается, вторая - познается. "Бояться и любить Бога" – вот христианское выражение для двоякого значения этих обоих чувствований мира.
В духовной жизни первобытного человечества и, следовательно, также раннего детства по .отношению к элементу чуждых сил, постоянно неумолимо присутствующих во всякой протяженности, в пространстве и при посредстве пространства, пробуждается потребность подчинить их, принудить, примирить, - одним словом "познать". В сущности это одно и то же. Познать Бога на языке всякой ранней мистики значит заклясть, сделать благосклонным, присвоить его себе внутренне. Это возможно при помощи слова, "имени", которым именуют и призывают "numen", или при помощи форм культа со свойственными им тайными силами. Идеи как немецкой, так и восточной мистики, возникновение всех античных богов и культов не оставляют никакого сомнения на этот счет. Настоящее познание равносильно духовному приобщению чуждого. Такая самозащита есть первое творческое деяние каждой пробуждающейся души. С нею начинается высшая внутренняя жизнь в настоящем смысле слова всякой культуры и всякого индивидуума. Познание, установление границ при посредстве понятий и чисел, является наиболее тонкой и вместе с тем наиболее мощной формой такой защиты. В этом смысле человек становится человеком только при посредстве языка. Познание с неопределимой необходимостью превращает хаос первоначальных окружающих впечатлений в космос, в совокупность душевных выражений, "мир в себе" в "мир для нас" * . Оно успокаивает боязнь мира, подчиняя себе чуждое и таинственное, превращая его в понятную и устроенную действительность и связывая его железными правилами собственного, наложенного на него разумного языка форм.
Это та идея "табу", играющая столь значительную роль в
духовной жизни всех примитивных народов, но столь далекая
нам по своему первобытному содержанию, что это слово даже
нельзя перевести ни на один из более зрелых культурных языков. В основе его лежит такое первобытное чувство, предшествовавшее всякому познанию и пониманию окружающего мира, даже всякому ясному самосознанию, отделяющему

* От "заклятия именем" у дикарей вплоть до науки наших дней, которая подчиняет себе предметы, изобретая для них названия, понятия и определения, ничего не изменилось со стороны формы.

141

душу от мира, что среди нас, интеллектуальных жителей современного большого города, оно может быть доступным разве только детям и немногим художественным натурам. Вечная боязнь, священный трепет, глубокая беспомощность, тоска, ненависть, смутные желания приближения, соединения, удаления - все эти полные форм чувства зрелых душ сливаются в зачаточном состоянии в глухую нерешительность. Двоякий смысл слова "заклинать", значащего, с одной стороны, подчинять своей власти, с другой - умолять, поможет уяснить нам смысл мистического акта, при помощи которого первобытный человек делает чуждое и страшное "табу". Набожный страх перед всем не зависящим от человека, установленным, законосообразным, перед чуждыми силами мира, есть начало всякой элементарной формы. В первобытное время она осуществляется в гиератическом орнаменте и мелочных церемониях, строгих уставах примитивных обычаев и своеобразных культах. На ступенях высшей культуры образования эти, не утрачивая внутренних признаков своего происхождения и характера связывания и заклятия, вырастают в законченные миры форм отдельных искусств, религиозного, логического и математического мышления, экономического, политического, социального и личного быта. Их общее средство, и притом единственное, которое знает осуществляющая себя душа, есть символизирование протяженности, пространства или вещей, - будь то концепции абсолютного мирового пространства Ньютоновой физики, внутреннего облика готических соборов или мавританской мечети, атмосферической беспредельности картин Рембранта или их повторений в сумрачном мире звуков бетховенских квартетов, будь то правильные многогранники Эвклида, скульптуры Парфенона или пирамиды Древнего Египта, нирвана Будды, строгий распорядок придворных обычаев при Сезострисе, Юстиниане 1 и Людовике XIV, или, наконец, идея божества у Гомера, Плотина, Данте, или опоясывающая земной шар побеждающая пространство энергия современной техники.
12

Вернемся к математике. Как мы видели, исходным пунктом всякого создания форм в античности было приведение в порядок ставшего, поскольку оно является чувственным, наличным, осязаемым, измеримым, исчисляемым. Западное готическое чувство формы, чувство одиноко блуждающей по всем далям души, избрало для себя знак чистого, не наглядного

142

безграничного пространства. Не следует ни в коем случае вдаваться в заблуждение относительно узкой обусловленности этих символов, которые легко могут показаться идентичными и общеприменимыми. Наше бесконечное мировое пространство, о реальности существования которого, по-видимому, не приходится тратить лишних слов, не существовало для античного человека. Он даже не мог его себе представить. Эллинский космос, чуждость которого нашему способу понимания только по недоразумению оставалась так долго не замеченной, был для эллина самой очевидностью. Действительно, абсолютное пространство нашей физики есть форма, становящаяся понятной и естественной только из нашего душевного склада, как его отражение и выражение, и действительная только для нашего бодрствующего существования. Вся математика, начиная с Декарта, служит теоретическому истолкованию этого высокого символа, наполненного религиозным содержанием. Начиная с Галилея, физика также стремится только к этому. Античная же математика и физика вообще даже не знают этого объекта.
И в этом случае античные наименования, почерпнутые нами из литературного наследия греков, затемнили действительное положение вещей. Геометрией называется искусство измерения, арифметикой - искусство счета. Западная математика более не имеет ничего общего с обоими этими видами ограничивания, но она не нашла для себя никакого нового имени. Слово "анализ" выражает далеко не все.
Начало и конец размышлений античного человека вращаются вокруг отдельных тел и ограничивающих их поверхностей. Мы же, в сущности, знаем только один абстрактный элемент пространства - точку, не обладающую ни наглядностью, ни измеримостью, ни способностью принимать именование, и являющуюся исключительно центром отношений. Прямая линия для грека является измеримой границей плоскости, для нас - неограниченной непрерывностью точек. В качестве примера для иллюстрации своего принципа бесконечно малых Лейбниц приводит прямую, представляющую собою предел окружности с бесконечно большим радиусом, причем другим пределом является точка. Квадратура круга сделалась классической проблемой предельности для античных мыслителей. Это казалось им глубочайшей из всех тайн мировой формы, а именно: превратить плоскость, ограниченную кривой линией, с сохранением неизменной величины, в прямоугольники, и сделать ее, таким образом, измеримой. Для нас это превратилось в обычный прием изображения

143

числа ? при помощи алгебраических средств без всякого упоминания вообще о каких-либо геометрических образованиях.
Античный математик знает только то, что он видит и может осязать. Там, где кончается ограниченная и ограничивающая видимость, постоянная тема его размышлений, там же кончается и его наука. Западноевропейский математик, освободившийся от античных предрассудков и вступивший на самостоятельную дорогу, удаляется в совершенно абстрактные области бесконечных числовых множественностей n количества - не только 3-х измерений, где его так называемая геометрия может, и в большинстве случаев принуждена, обходиться без какой-либо помощи наглядности. Обратится ли античный человек к художественному выражению своего чувства формы, он стремится придать человеческому телу в танце, в борьбе, в мраморе и бронзе то положение, при котором поверхности и контуры полнее всего осуществляют меру и смысл. А настоящий художник Запада закрывает глаза и углубляется в область бестелесной музыки, где гармония и полифония приводят к созданиям высочайшей "потусторонности", далеко удаленным от всех возможностей оптически обусловленного. Стоит только припомнить, что понимают под словом фигура афинский ваятель и северный контрапунктист, чтобы ясно представить себе противоположность обоих миров и обеих математик. Греческий математик применяет для обозначения тела слово ????. То же слово применяет и юридический язык для выражения противоположности лица и вещи (?????? ??? ???????? : personae et res).
Поэтому феномен античного, целого, телесного числа невольно ищет соприкосновений с возникновением телесного человека, его ???? . Число 1 почти не воспринимается как число. Оно есть ????, первоначальное вещество ряда чисел, начало всех чисел в собственном смысле и, следовательно, всякой величины, меры и вещественности. В кругах пифагорейцев в любую эпоху ее числовой знак был одновременно символом материнского лона, начала всей жизни. Число 2, первое настоящее число, удвояющее 1, вследствие этого было поставлено в связь с мужским принципом, и его знак был изображением фаллоса. Наконец, священная троица пифагорийцев обозначала акт соединения мужчины и женщины, зачатия - легко понятное эротическое толкование двух единственных ценных для античности процессов увеличения, рождения величин: сложения и умножения - и знак ее состоял из соединения двух предшествующих. Отсюда падает новый свет на уже упомянутый миф о кощунстве открытия иррационального. Иррациональное, или, по нашему способу

144

выражения, применение бесконечных десятичных дробей,
равносильно разрушению органически-телесного, производящего распорядка, установленного богами. Не подлежит сомнению, что пифагорейская реформа античной религии возродила и приняла за основу древнейший культ Деметры. Деметра родственна Гее, Матери-Земле. Существует глубокая связь между поклонением ей и этим возвышенным пониманием чисел.
Таким образом, античность с внутренней необходимостью
постепенно стала культурой малого. Аполлоновская душа
стремилась подчинить себе смысл ставшего при помощи принципа обозримого предела; ее "табу" сочеталось с непосредственной наличностью и близостью чуждого. Что далеко, что не невидимо, того и нет. Греки и римляне приносили жертвы богам той местности, где они находились; все остальные ускользали от их кругозора. Подобно тому, как в греческом языке нет слова для обозначения пространства, - мы часто будем прибегать к мощным символам подобных явлений языка, - равным образом у греков отсутствовало наше чувство ландшафта, чувство горизонтов, видов, дали, облаков, а также понятие отечества, распространяющееся на большое пространство и охватывающее большую нацию. Родина для античного человека это только то, что он может обозреть с высоты кремля своего родного города. То, что лежит по ту сторону оптической границы этого политического атома, было чужим, даже враждебным. Здесь уже начинается страх античного существования, и этим объясняется ужасающая жестокость, с которой эти крошечные города уничтожали друг друга. Полис есть наиболее маленькая из всех мыслимых государственных форм, и его политика, определенная политика близких окрестностей, есть полная противоположность нашей кабинетной дипломатии, являющейся политикой беспредельного. Античный храм, легко обозримый с одного взгляда, является самым маленьким среди других видов античных построек. Геометрия от Архита до Эвклида - так же как и наша школьная геометрия, стоящая под ее влиянием – имеет дело с маленькими, удобными для обращения фигурами и телами, и, таким образом, от нее остались скрытыми трудности, возникающие при обращении с фигурами астрономических размеров и не всегда допускающие применение эвклидовой геометрии *. Иначе, пожалуй, тонкий аттический гений

* В современной астрономии серьезно обсуждается вопрос о применении неэвклидовой геометрии. Допущение неограниченного, но конечного, обладающего кривизной пространства, в котором вмещается звездная система, обладающая

145

уже тогда сумел бы предугадать кое-что из проблемы неэвклидовой геометрии, так как возражения против известной аксиомы о параллельных линиях *, сомнительная и неподдающаяся исправлению формулировка которой уже издавна создавала затруднения, близко подводили к решающему открытию. Поскольку для античного ума было само собой понятным рассмотрение исключительно близкого и малого, так же само собой понятно для нас рассмотрение бесконечного, выходящего за пределы видимого глазом. Все математические воззрения, изобретенные или заимствованные Западом, с полной неизбежностью были подчиняемы языку форм бесконечного, даже задолго до времени открытия дифференциального исчисления. Арабская алгебра, индийская тригонометрия, античная механика равно включались в анализ. Как раз самые "очевидные" положения элементарного счисления: например 2х2 = 4, с аналитической точки зрения становятся проблемами, разрешение которых достигнуто только путем выводов из учения о множестве, а в многих частностях не достигнуто еще до сего времени, что, без сомнения, в глазах Платона и его времени показалось бы безумием и признаком полного отсутствия математических способностей.
Можно в известном смысле трактовать геометрию алгебраически, или алгебру геометрически, т.е. устранять деятельность глаза или, наоборот, допускать его господство. К первому способу прибегли мы, ко второму греки. Архимед, касающийся в своем изящном вычислении спирали некоторых общих фактов, легших также в основу Лейбницевой методы определенного интеграла, тотчас же подчиняет свои приемы, кажущиеся при поверхностном наблюдении в высшей степени современными, стереометрическим принципам; индус в подобном же случае вполне естественным образом нашел бы тригонометрическую формулировку. (В настоящее время не представляется возможным установить, что из известной нам индийской математики является древнеиндийским, т.е. что возникло до Будды.)
13

Из основной противоположности античных и западных чисел вытекает столь же глубокая противоположность отношений

диаметром, приблизительно равным 470 миллионам расстояний Земли от Солнца, привело бы нас к принятию аналогичного Солнцу тела, которое представляется звездой средней величины.
* А именно, что через точку к прямой можно провести только одну параллельную линию, - положение, совершенно недоказуемое.

146

в которых находятся друг к другу отдельные элементы
каждого из этих комплексов. Взаимоотношение величин называется пропорцией, взаимоотношение отношений заключается в сущности функции. За пределами математики оба эти слова имеют глубокое значение для техники обоих соответствующих искусств - пластики и музыки. Если даже не принимать во внимание значение слова "пропорция" в применении к отдельной статуе, как раз наиболее типичные произведения античного искусства, статуя, рельеф и фрески, допускают увеличение или уменьшение масштаба, но слова эти не имеют никакого смысла в применении к музыке, искусству беспредельного. Достаточно вспомнить искусство гемм, сюжеты которого были уменьшениями пластики натуральной величины. С другой стороны, в области теории функций решающее значение имеет понятие трансформации групп, и всякий музыкант подтвердит, что аналогичные образования составляют существенную часть новейшего учения о композиции. Я ограничусь примером одной из наиболее тонких инструментальных форм XVIII в., а именно "tema con variazioni".
Всякая пропорция предполагает постоянство элементов,
всякая трансформация - их изменчивость: достаточно сравнить теоремы о подобии у Эвклида, доказательство которых в действительности основано на наличии отношения 1:1, с современным их выводом при помощи круговых функций.

14

Конструкция - в широком смысле охватывающая все методы элементарной арифметики - есть альфа и омега античной математики: она равносильна установлению определенного и видимого объекта. Циркуль есть резец этого второго пластического искусства. Способ работы при изысканиях в области теории функций, ставящих себе целью не определенный результат, имеющий характер величины, а исследование общих формальных возможностей, можно обозначить как известный вид теории композиции, находящийся в близком сродстве с музыкальной композицией. Целый ряд понятий из области теории музыки можно было бы также прямо применить к аналитическим операциям физики - тональность, фразировка, хроматичность, а также другие - и вопрос, не сделаются ли благодаря этому многие отношения более удобообозримыми.
Всякая конструкция утверждает видимость, всякая операция отрицает ее, так как первая вырабатывает оптические

147

данные, вторая же их разрушает. Таким образом, вскрывается дальнейшая противоположность обоих видов математических приемов: античная математика малых рассматривает конкретный отдельный случай, решает определенную задачу, выполняет единичную конструкцию. Математика бесконечного рассматривает целые классы формальных возможностей, группы функций, операций, уравнений, кривых, причем имеет в виду не определенный результат, но само протекание процесса. Около двухсот лет тому назад - факт, о котором почти не думают наши математики - возникла идея общей морфологии математических операций, которую и следует признать за сущность новой математики. В ней вскрывается общая широкая тенденция западного духа, становящаяся со временем все более ясной, - тенденция, являющаяся исключительным достоянием фаустовского духа и его культуры и не имеющая подобия в устремлениях других культур. Большинство вопросов, являющихся насущными проблемами нашей математики - соответственно квадратуре круга у греков, как-то: исследование критерия сходимости бесконечных рядов (Коши) или обращение эллиптических и общеалгебраических интегралов в многократные периодические функции (Абель, Гаусс), вероятно, показалось бы "древним", искавшим в качестве результатов определенных величин, остроумной и несколько причудливой забавой - суждение соответствующее также и теперешнему общепринятому мнению широких кругов. Нет ничего столь же непопулярного, как современная математика, и в этом есть также своя доля символики бесконечной дали, расстояния. Все великие произведения Запада, начиная с Данте до "Парсифаля", непопулярны, наоборот, все античные, начиная с Гомера до Пергамского алтаря, популярны в высшей степени.

15

Наконец, все содержание западного числового мышления
объединяется в одной классической проблеме, являющейся
ключом к трудноусвояемому понятию бесконечности - фаустовской бесконечности, отличной от бесконечности арабского и индийского мирочувствования. Речь идет о теории предела вообще, независимо от частных случаев, когда число рассматривается как бесконечный ряд, как кривая или функция. Этот предел является полной противоположностью античному, который до сих пор не назвали этим именем и который выражается в неподвижно ограниченной плоскости измеримой величины. До самого XVIII века эвклидовски-популярные

148

предрассудки затемняли смысл принципа дифференциала. Как бы осторожно ни применять наиболее доступное понятие бесконечно малого, ему все остаются присущи какой-то момент античной константности, какая-то внешность величины, хотя Эвклид не признавал его и не мог признать таковой. Нуль есть постоянная величина, некоторое число в линейной непрерывности между 1 и -1; аналитическим исследованиям Эйлера во многом повредило то обстоятельство, что он - как и многие вслед за ним - считал бесконечно малые величины за нули. Только вполне разъясненное Коши понятие предела устранило этот остаток античного чувства чисел и сделало исчисление бесконечных вполне свободной от противоречий системой. Только переход от "бесконечно малых чисел" к тому, "что находится ниже предельного значения всякой возможной конечной величины", приводит к концепции изменяющегося числа, находящегося ниже любой отличной от нуля конечной величины и, следовательно, не имеющего в себе ни малейшего признака величины. Предел в этой окончательной формулировке вообще не представляет собой нечто такое, к чему совершается приближение. Он представляет собою само приближение - процесс, операцию. Это не состояние, а поведение. Здесь, в решающей проблеме западной математики неожиданно вскрывается, что наша душа предрасположена исторически *.

16

Освободить геометрию от наглядности, алгебру от понятия
величины и объединить обе по ту сторону элементарных рамок конструкции и счета в мощном здании теории функции - таков был великий путь западного числового мышления. Таким образом античное постоянное число растворилось в изменяющемся. Геометрия, ставши аналитической, разрушила все конкретные формы. Она заменила математическое тело, из неподвижных форм которого извлекаются геометрические значимости, абстрактными пространственными отношениями, которые в конце концов являются вообще совершенно неприменимыми к фактам чувственно наличной наглядности. Далее, она заменила оптические образования Эвклида геометрическим местом точек и их отношением к системе координат, исходный пункт которых может быть произвольно выбран, и свела предметное существование геометрического объекта к требованию неизменяемости выбранной системы во все время

* "Функция ,правильно понимаемая, есть бытие, мыслимое в деятельности" (Гете).

149

операции, имеющей теперь уже своим предметом не измерения, а уравнения. Однако вскоре устанавливается истолкование координат исключительно как чистых значимостей, не столько определяющих, сколько изображающих и заменяющих положение точек как абстрактных элементов пространства. Число, предел ставшего, изображается символически уже не в образе какой-либо фигуры, а в образе уравнения. Смысл "геометрии" превращается в обратный: система координат как образ исчезает, и точка становится теперь совершенно абстрактной группой чисел. Путь, которым архитектура Ренессанса превращается благодаря конструктивным нововведениям Микеланджело и Виньолы в барокко, является точным отражением внутренних изменений анализа. Чувственно чистые линии фасадов дворцов и церквей утрачивают свою реальность. На месте ясных координат флорентийско-римской расстановки колонн и расчленения этажей появляются "бесконечные" элементы взвивающихся и волнообразных частей здания, волют и картушей. Конструкция исчезает в изобилии декоративного-функционального, говоря языком математики; колонны и пилястры, соединенные в группы и связки, прорезывают фронтоны, не давая отдыха для глаза, то соединяясь, то вновь расступаясь; плоскости стен, потолков, этажей расплываются потоком украшений стукко и орнаментов, пропадают и распадаются под действием красочных световых эффектов. В то же время свет, разлившийся в привольной игре над этим миром форм зрелого барокко - начиная с Бернини в 1650 г. вплоть до рококо в Дрездене, Вене и Париже - становится чисто музыкальным элементом. Дрезденский Цвингер - это симфония. Вместе с математикой также и архитектура превратилась в XVIII веке в мир музыкального характера.

17

На пути развития этой математики наступил момент, когда и теория и сама душа, стремившаяся к беспрепятственному выражению своих внутренних возможностей, почувствовали преграду и помеху не только в ограниченности искусственных геометрических образований, но и в ограниченности зрительного чувства вообще, когда таким образом идеал трансцендентной протяженности вступил в коренной конфликт с ограниченными возможностями непосредственной видимости. Античная душа, предоставляющая чувственному его полное значение и свободу воздействия с покорностью, свойственной платоновской или стоической '???????? и скорее

150

принимавшая, а не создававшая свои великие символы, как
мы это видели на примере скрытого эротического значения
пифагорейских чисел, не могла и не хотела шагнуть за пределы телесного "теперь" и "здесь". Если пифагорейское число вскрывалось из сути отдельных данных вещей в природе, то число Декарта и следовавших за ним математиков было чем-то таким, что надо было завоевать и вынудить, каким-то самодержавным, абстрактным отношением, независимым от всякой чувственной данности и постоянно готовым утвердить эту свою независимость от природы. Воля к власти - пользуясь знаменитой формулой Ницше - свойственная, начиная с ранней готики времен "Эдды", соборов и крестовых походов, даже еще с завоеваний викингов и готов северной душе в ее отношениях к ее миру, свойственна также и энергии, проявляемой западным числом по отношению к наглядности. Это есть "динамика". В аполлоновской математике дух служит глазу, в фаустовской первый побеждает второй.
Хотя математики в своем уважении к античной традиции
не смели долгое время замечать этого, само математическое
"абсолютное", настолько совершенно неантичное пространство с самого начала не имело ничего общего со смутной пространственностью ежедневных впечатлений или популярной живописи, с пространственностью, не допускающего по принятому мнению иного толкования и достоверного априорного созерцания Канта, но являлось чистой отвлеченностью, идеальным, неосуществимым постулатом души, все менее удовлетворенной чувственностью как средством выражения и, наконец, со всей страстностью от нее отвратившейся. Тут пробудилось внутреннее зрение.
Только тогда для глубоких мыслителей стало ясным, что с
этой повышенной точки зрения, единственная истинная, по
наивному воззрению всех времен, Эвклидова геометрия есть
только гипотеза, чью исключительную обоснованность по
сравнению с другими видами геометрии, совершенно ненаглядными, нельзя даже доказать, как это точно установлено Гауссом, не говоря уже о многократно прославляемом "соответствии" с действительностью, этой догмой непосвященных, опровергаемой любым взглядом вдаль, где все параллели пересекаются. Основное ядро этой геометрии, эвклидова аксиома параллельных линий, есть утверждение, которое можно заменить другими, а именно: что через определенную точку нельзя провести ни одной параллели к прямой, или можно провести две, или даже несколько; все это утверждения, на основании которых возможно построить вполне согласованные трехмерные геометрические системы, которые вполне

151

применими в физике или в особенности в астрономии, в некоторых
случаях имеют преимущество перед Эвклидовой.
Уже простое требование безграничности протяженного -
каковую ограничность мы со времени исследования Риманна
и его теории безграничных, но вследствие своей кривизны не
бесконечных пространств, должны отличать от бесконечности
- противоречит самому характеру такой непосредственной
наглядности, находящейся в зависимости от наличности сопротивления света, следовательно, от материальных границ. Но можно себе представить абстрактные принципы установления границ, выходящие в совершенно новом смысле из круга возможностей оптической ограниченности. Для внимательного наблюдателя уже в картезианской геометрии заметна тенденция переступить за три измерения пережитого пространства, так как таковые не являются безусловной необходимой границей для символики чисел. И хотя представление о пространствах многих измерений - следовало бы это выражение заменить новым термином - только приблизительно с 1800 г. сделалось расширенной основой аналитического мышления, первый шаг к этому был сделан уже в тот момент, когда степени, или, точнее, логарифмы были отделены от их первоначальной связи с чувственно осуществимыми плоскостями и телами и - одновременно с применением иррациональных и комплексных показателей - введены в область функционального в качестве отношений совершенно общего характера. Тот, кто разбирается в этих вопросах, поймет, что переход от представления а3 как естественного максимума к а" уже влечет за собой упразднение безусловности трехмерного пространства.
После того, как представляющая собой элемент пространства точка утратила отчасти еще оптический характер отрезка координаты наглядно воображаемой системы и стала определяться группой трех независимых чисел, тогда было устранено всякое внутреннее препятствие к тому, чтобы число 3 заменить общим числом n. Наступает полное превращение понятия измерения: не числа, выражающие меру, обозначают оптические свойства какой-либо точки по отношению ее положения в пространстве, но неопределенное количество измерений отображает совершенно абстрактные свойства некой числовой группы. Эта числовая группа - из n-ного количества независимых приведенных в порядок элементов - есть картина точки: она называется точкой. Логически выведенное из нее уравнение называется плоскостью, является картиной плоскости. Совокупность всех точек n-ного количества измерений называется пространством n-ного количества

152

измерений *. В этих трансцендентальных мирах пространств, не
имеющих более никакого отношения к какой бы то ни было
чувственности, царят открываемые анализом отношения, которые находятся в постоянном согласовании с данными экспериментальной физики. Эта пространственность высшего порядка есть символ, являющийся исключительным достоянием западного духа. Заключить ставшее и протяженное в эти формы, заклясть чуждый элемент в этот способ усвоения - припомним понятие "табу", - подчинить его своей власти и таким образом "познать" - это поставил себе целью и осуществил один только западный дух. Только в этой сфере числового мышления, открытой для понимания лишь очень ограниченного круга людей - но также обстоит дело и с глубочайшими моментами нашей музыки, нашей живописи и нашей догматики - даже такие образования, как система гиперкомплексных чисел (вроде кватерньонов в векториальном счислении) и на первый взгляд совершенно непонятные знаки, как ?, получают характер чего-то действительного. Следует уяснить себе, что действительность не есть только чувственная действительность, но что дух в гораздо большей степени может осуществлять свою идею в совершенно иных образованиях, кроме наглядных.

18

Из этой величественной интуиции символических миров
пространств вытекает последняя и заключительная формулировка западной математики, расширение и одухотворение теории функций и превращение ее в теорию групп. Группы суть множества или совокупности однообразных математических образований, например совокупность всех дифференциальных уравнений определенного типа, построенные и приведенные в порядок аналогично Дедекиндовому числовому телу. По-видимому, речь идет о целых мирах новых чисел, не лишенных для внутреннего зрения посвященных признаков известной наглядности. Предстоит исследовать некоторые элементы этих необычайно абстрактных систем форм, остающихся по отношению к известной группе операций - а именно: трансформаций системы - независимыми от

* С точки зрения учения о множествах приведенное в порядок множество, безотносительно к числу измерений, называется телом, множество п-1 измерений называется, следовательно, по отношению к первой плоскостью. "Ограничение" (стена, грань) множества точек представляет собой множество точек меньшей мощности.

153

действия последних и обладающих неизменяемостью. Общая
задача этой математики выражается, следовательно, в такой
форме (по Клейну): "Дано некоторое множество ("пространство") n-ного количества измерений и группа трансформаций.
Надлежит произвести исследование принадлежащих к этому
множеству образований в отношении тех свойств, которые
при трансформациях группы останутся неизменными".
Теперь на этой высочайшей точке достижения - истощив
все свои внутренние возможности и исполнив свое назначение быть отражением и чистейшим выражением идеи фаустовской души - математика Запада заканчивает свое развитие, совершенно так же, как это сделала математика античной культуры в III веке. Обе эти науки - это единственные, чью органическую структуру уже в настоящее время можно проследить с исторической точки зрения, - возникли из совершенно новых числовых концепций Пифагора и Декарта, обе после столетия великолепного восхождения достигли зрелости и обе в течение трехсотлетнего расцвета завершили построение своих идей как раз к тому моменту, когда культура, к которой они принадлежали, перешла в цивилизацию мирового города. Эта глубокая зависимость будет разъяснена позднее. Достоверно, что время большой математики для нас окончено. Теперь идет работа сохранения, округления, уточнения, выбирания, талантливая ювелирная работа, заменившая великое созидание, подобно тому, как эпоху позднего эллинизма отмечает александрийская математика.
Нагляднее представить это положение поможет нижеследующая историческая схема.

АНТИЧНОСТЬ                                                                     ЗАПАД

                                1. Концепция нового числа

       Ок. 540 г .                                                                              Ок. 1630 г .

 Число как величина.                                                    Число как отношение. Декарт,

Пифагорейцы.                                                                   Ферма, Паскаль; Ньютон,

(Около 470 г .                                                                             Лейбниц  ( 1670 г .)

победа пластики                                                           (Около 1670 г . победа музыки

фресковой живописью)                                                    над масляной живописью)

                               2. Расцвет систематического развития

    450 -  350 гг.                                                                     1750 - 1800 IT.

Архит, Платон, Эвдокс                                                Эйлер, Лагранж, Даллас

(Фидий, Пракситель)                                                         (Гайдн, Моцарт)

                             3. Внутреннее завершение мира чисел

       300-250  гг.                                                                      После 1800г.

Эвкли , Аполлоний.  Архимед                                         Гаусс, Коши, Риманн

     (Лисипп, Леохар)                                                                    (Бетховен)